Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình \(\begin{cases}2x-y=2-a\\x+2y=a+1\end{cases}\) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)\) sao cho \(x^2+y^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\(a=1\).\(a=-1\).\(a=\frac{1}{2}\).\(a=-\frac{1}{2}\).Hướng dẫn giải:Bằng một trong các phương pháp: thế; cộng đại số; sử dụng định thức ta thấy hệ luôn có nghiệm duy nhất
\(x=\dfrac{5-a}{5}\); \(y=\dfrac{3a}{5}\).
Như vậy \(x^2+y^2=\left(\dfrac{5-a}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3a}{5}\right)^2=\dfrac{1}{25}\left(10a^2-10a+25\right)\) \(=\dfrac{1}{250}\left(10a-5\right)^2+\dfrac{225}{250}\ge\dfrac{9}{10}\).
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi \(a=\dfrac{1}{2}\) . Đáp số: \(a=\dfrac{1}{2}\).
