Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(x^4-\left(3m+4\right)x^2+\left(m+1\right)^2=0\) có 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng .
\(m=2\) hay \(m=-\dfrac{22}{19}\).\(m=-2\) hay \(m=\dfrac{22}{19}\).\(m=2\) hay \(m=\dfrac{22}{19}\).\(m=-2\) hay \(m=-\dfrac{22}{19}\).Hướng dẫn giải:Phương trình : \(x^4-\left(3m+4\right)x^2+\left(m+1\right)^2=0\) có \(\Delta=5m^2+16m+12\)
Để có đủ 4 nghiệm thì điều kiện phương trình trùng phương có các nghiệm \(x^2\) dương. Hay là:
\(\begin{cases}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\\\Delta>0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+4>0\\\left(m+1\right)^2>0\\5m^2+16m+12>0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m>-\frac{4}{3}\\m\ne-1\\m< -2;m>-\frac{6}{5}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{6}{5}< m\ne-1\)
Khi đó 4 nghiệm của phương trình \(\left(x_1;x_2;x_3;x_4\right)\) là:
\(-\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}};-\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}};\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}};\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}}\)
Để 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng khi \(\left(x_4+x_2\right)=2x_3\), hay là :
\(\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}}-\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}}=2\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{3m+4+\sqrt{\Delta}}{2}}=3\sqrt{\frac{3m+4-\sqrt{\Delta}}{2}}\)
\(\Leftrightarrow10\sqrt{\Delta}=8\left(3m+4\right)\)
\(\Leftrightarrow5\sqrt{\Delta}=4\left(3m+4\right)\)
\(\Leftrightarrow25\left(5m^2+12m+12\right)=16\left(9m^2+24m+16\right)\)
\(\Leftrightarrow19m^2-16m-44=0\)
\(\Leftrightarrow m=2\) hay \(m=-\frac{22}{19}\) đều thỏa mãn \(>-\frac{6}{5}\) và \(\ne-1\)