Mệnh đề nào sau đây sai?
Với \(t=\sqrt{4-3\cos x}\) thì \(\cos x=\frac{4-t^2}{3}\) và \(\sin x\text{d}x=\frac{2t\text{d}t}{3}\). Nếu đặt \(t=\sqrt{4-3\cos x}\) thì \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos x+\sqrt{4-3\cos x}}\text{d}x=\frac{2}{5}\int\limits^2_1\left(\frac{4}{4-t}-\frac{1}{1+t}\right)\text{d}t\). \(\int\left(\frac{4}{4-t}-\frac{1}{1+t}\right)\text{d}t=-\frac{2}{5}\left(4\ln\left(t-4\right)+\ln\left(t+1\right)\right)\). \(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos x+\sqrt{4-3\cos x}}\text{d}x=\frac{6}{5}\ln\frac{3}{2}\). Hướng dẫn giải:*) \(t=\sqrt{4-3\cos x}\)
\(\Leftrightarrow t^2=4-3\cos x\)
\(\Leftrightarrow\cos x=\frac{4-t^2}{3}\)
Lấy vi phân hai vế:
\(-\sin x\text{d}x=-\frac{2}{3}t\text{.d}t\)
\(\sin x\text{d}x=\frac{2}{3}t\text{.d}t\)
*) Để đổi biến số trong tích phân, ta đổi cận:
\(x|^{\frac{\pi}{2}}_0\Rightarrow t|^2_1\)
\(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{\sin x}{\cos x+\sqrt{4-3\cos x}}\text{d}x=\int\limits^2_1\frac{\frac{2}{3}t.\text{d}t}{\frac{4-t^3}{3}+t}\)
\(=\int\limits^2_1\frac{2t}{-t^2+3t+4}\text{d}t\)
\(=\int\limits^2_1\frac{2t}{-\left(t+1\right)\left(t-4\right)}\text{d}t\)
\(=2\int\limits^2_1\frac{t}{\left(t+1\right)\left(t-4\right)}\text{d}t\)
\(=2\int\limits^2_1\frac{t}{5}\left[\frac{1}{4-t}+\frac{1}{t+1}\right]\text{d}t\)
\(=\frac{2}{5}\int\limits^2_1t\left[\frac{1}{4-t}+\frac{1}{t+1}\right]\text{d}t\)
\(=\frac{2}{5}\int\limits^2_1\left(\frac{t}{4-t}+\frac{t}{t+1}\right)\text{d}t\)
\(=\frac{2}{5}\int\limits^2_1\left(\frac{-4+t+4}{4-t}+\frac{t+1-1}{t+1}\right)\text{d}t\)
\(=\frac{2}{5}\int\limits^2_1\left(-1+\frac{4}{t-4}+1-\frac{1}{t+1}\right)\text{d}t\)
\(=\frac{2}{5}\int\limits^2_1\left(\frac{4}{4-t}-\frac{1}{t+1}\right)\text{d}t\)
\(=\frac{2}{5}\left(-4.\ln\left|4-t\right|-\ln\left|t+1\right|\right)|^2_1\)
\(=-\frac{2}{5}\left[4.\ln\left(4-t\right)+\ln\left(t+1\right)\right]|^2_1\)
\(=-\frac{2}{5}\left[4\ln2+\ln3-4\ln3-\ln2\right]\)
\(=-\frac{2}{5}\left[3\ln2-3\ln3\right]\)
\(=-\frac{2}{5}.3.\ln\frac{2}{3}\)
\(=\frac{6}{5}\ln\frac{3}{2}\)
Vậy tất cả công thức trên đều đúng, trừ công thức sau:
\(\int\left(\frac{4}{4-t}-\frac{1}{1+t}\right)dt=-\frac{2}{5}\left(4ln\left(t-4\right)+ln\left(t+1\right)\right)\)
Vì \(\int\left(\frac{4}{4-t}-\frac{1}{1+t}\right)dt=-\frac{2}{5}\left(4ln\left|4-t\right|+ln\left|t+1\right|\right)\)
Trong bài toán tích phân xác định ở trên, vì \(x\in\left[1;2\right]\) nên mới bỏ dấu giá trị tuyệt đối được.
