Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ bằng 2 và diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất thì bán kính đáy gần với số nào?
0,68 0,6 0,12 0,52 Hướng dẫn giải:Gọi x là bán kính đáy của lon sữa (x > 0)
Khi đó \(V=\pi x^2h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi x^2}\)
Diện tích toàn phần của lon sữa là:
\(S\left(x\right)=2\pi x^2+2\pi xh=2\pi x^2+2\pi x\dfrac{V}{\pi x^2}\)
\(=2\pi x^2+2.\dfrac{2}{x}=2\pi x^2+\dfrac{4}{x},x>0\)
Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số \(S\left(x\right)=2\pi x^2+\dfrac{4}{x},x>0\)
\(S'\left(x\right)=4\pi x-\dfrac{4}{x^2}\); \(S'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\approx0,68\)