Ho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\). Tích số các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến một tiếp tuyến bất kỳ của (H) có giá trị không đổi. Tính giá trị không đổi này.
20 16 4 36 Hướng dẫn giải:(H) có phương trình \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\) suy ra một nửa tiêu cự của (H) là \(c=\sqrt{20+16}=6\), hai tiêu điểm là \(F_1\left(-6;0\right),F_2\left(6;0\right)\).
Một tiếp tuyến tùy ý của (H) có phương trình dạng \(\dfrac{x_0.x}{20}-\dfrac{y_0.y}{16}=1\), trong đó \(\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm tới tiếp tuyến là \(T=\dfrac{\left|\dfrac{x_0}{20}.\left(-6\right)-0-1\right|}{\sqrt{\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}}}.\dfrac{\left|\dfrac{x_0}{20}.\left(6\right)-0-1\right|}{\sqrt{\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}}}=\dfrac{\left|\dfrac{36}{20^2}x_0^2-1\right|}{\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}}\).
Chú ý rằng \(\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm nên thuộc (H), do đó \(\dfrac{x_0^2}{20}-\dfrac{y_0^2}{16}=1\) suy ra \(\dfrac{y_0^2}{16}=\dfrac{x_0^2}{20}-1\Rightarrow\dfrac{y_0^2}{16^2}=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{x_0^2}{20}-1\right)=\dfrac{x_0^2}{16.20}-\dfrac{1}{16}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}=\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{x_0^2}{16.20}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{36x_0^2}{16.20^2}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{36x_0^2-1}{20^2}\right)\) (1)
Từ (1) suy ra \(\left(\dfrac{36x_0^2-1}{20^2}\right)>0\Rightarrow\left|\dfrac{36x_0^2-1}{20^2}\right|=\dfrac{36x_0^2-1}{20^2}\) (2).
Thế (1) và (2) vào biểu thức của \(T\) ta được \(T=\dfrac{\left|\dfrac{36}{20^2}x_0^2-1\right|}{\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}}=\dfrac{\dfrac{36}{20^2}x_0^2-1}{\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{36}{20^2}x_0^2-1\right)}=16\).
Đáp số: 16.