Hàm số \(y=\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)\cos x\) nghịch biến trên tập xác định của nó khi
\(-\dfrac{1}{2}\le m\le\dfrac{2}{3}\).\(-4\le m< -\dfrac{1}{2}\).\(m< -4\) hoặc \(m>3\).\(-4\le m\le\dfrac{2}{3}\).Hướng dẫn giải:Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).
\(y'=m-3+\left(2m+1\right)\sin x\)
- Xét trường hợp $2m + 1 = 0$, hay \(m=-\frac{1}{2}\), khi đó \(y=-\frac{7}{2}x\) là hàm giảm trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Xét trường hợp $2m + 1 > 0$ , hay \(m>-\frac{1}{2}\), để hàm số giảm trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\le0\) với mọi $x$, điều kiện là:
\(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi $x$
\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)\sin x\le3-m\) với mọi $x$
\(\Leftrightarrow\sin x\le\frac{3-m}{2m+1}\) với mọi $x$ (vì đang xét $2m+1>0$)
\(\Leftrightarrow1\le\frac{3-m}{2m+1}\) (vì \(\sin x\le1\))
\(\Leftrightarrow2m+1\le3-m\)
\(\Leftrightarrow m\le\frac{2}{3}\)
Kết hợp với điệu kiện đang xét ta có: \(-\frac{1}{2}< m\le\frac{2}{3}\)
- Xét trường hợp $2m + 1 < 0$ , hay \(m< -\frac{1}{2}\), làm tương tự trên, để \(y'\le0\) với mọi $x$ thì:
\(m-3+\left(2m+1\right)\sin x\le0\) với mọi $x$
\(\Leftrightarrow\sin x\ge\frac{3-m}{2m+1}\) với mọi $x$ (chú ý ta đang xét $2m+1 <0$)
\(\Leftrightarrow-1\ge\frac{3-m}{2m+1}\) (do \(\sin x\ge-1\))
\(\Leftrightarrow-\left(2m+1\right)\le3-m\)
\(\Leftrightarrow m\ge-4\)
Kết hợp với trường hợp đang xét ta có: \(-4\le m< -\frac{1}{2}\)
Tổng hợp ba trường hợp ta có: \(-4\le m\le\frac{2}{3}\)