Hàm số \(y=-x^{3}-3(2m+1)x^{2}-(12m+5)x-2\) luôn nghịch biến trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(0\leq m \leq \frac{\sqrt{6}}{6}\).\(-\frac{\sqrt{6}}{6}\leq m \leq \frac{\sqrt{6}}{6}\).\(-\frac{\sqrt{6}}{6}< m \leq \frac{\sqrt{6}}{6}\).\(-\frac{\sqrt{6}}{6}< m < \frac{\sqrt{6}}{6}\).Hướng dẫn giải:\(y'=-3x^2-6\left(2m+1\right)x-\left(12m+5\right)\)
Để hàm số luôn nghịch biến thì \(y'\le0,\forall x\).
y' là tam thức bậc hai có hệ số a = -3, để tam thức bậc hai \(\le0\) với mọi x thì \(\Delta'\le0\). Hay là:
\(\Delta'=9\left(2m+1\right)^2-3\left(12m+5\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow6m^2-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\sqrt{6}}{6}\le m\le\frac{\sqrt{6}}{6}\).