Hàm số \(f\left(x\right)\) với tập xác định \(D=\left(0;+\infty\right)\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)=x+\sqrt{1+x^2}\). Khẳng định nào trong các khẳng định sau đây đúng?
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).\(f\left(x\right)=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\).\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1+x^2}\).\(f\left(x\right)=1+\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}\).Hướng dẫn giải:Với mỗi \(x\in D\) (tức là \(x>0\)) ta cần tính \(f\left(x\right)\). Để làm điều này, xét \(t=\dfrac{1}{x}\) thì \(t\in D\) và \(\dfrac{1}{t}=x\). Theo giả thiết ta có \(f\left(\dfrac{1}{t}\right)=t+\sqrt{1+t^2}\). Trả lại \(\dfrac{1}{t}=x,x=\dfrac{1}{t}\) ta được \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{\left|x\right|}=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\)
Đáp số: \(f\left(x\right)=\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\)