Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\left(2a-1\right)x-4a-3=0\).
Ta tìm được giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức \(A=x^2_1+x_2^2\) là
\(\Delta=\left(2a-1\right)^2-4\left(-4a-4\right)=4a^2-4a+1+16a+16\)\(=4a^2+12a+17=\left(2a+3\right)^2+8>0,\forall a\in R\)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a thuộc R.
Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2a-1\\x_1x_2=-4a-3\end{matrix}\right.\).
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2a-1\right)^2-2\left(-4a-3\right)\)
\(=4a^2-4a+1+8a+6\)\(=4a^2+4a+7\)
\(=\left(2a+1\right)^2+6\)\(\ge6,\forall a\in R\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A=x^2_1+x_2^2\) bằng 6 khi \(\left(2a+1\right)^2=0\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}\).
