Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\dfrac{x}{3}\left(x-3\right)^2\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) bằng :
0 \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{4}{3}\) \(\dfrac{5}{3}\) Hướng dẫn giải:Cách 1: \(y'=\dfrac{1}{3}\left(x-3\right)^2+\dfrac{2x\left(x-3\right)}{3}=\left(x-3\right)\left(x-1\right)\) có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng \(\left(0;2\right)\)là \(x=1.\)
\(y\left(0\right)=0,y\left(1\right)=\dfrac{4}{3},y\left(2\right)=\dfrac{2}{3}\) suy ra GTLN\(=\dfrac{4}{3}.\)
Cách 2 (sử dụng bất đẳng thức Côsi): Có \(y=\dfrac{1}{6}.2x\left(3-x\right)\left(3-x\right)\le\dfrac{1}{6}.\left(\dfrac{2x+3-x+3-x}{3}\right)^3=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3},\forall x\in\left[0;2\right]\)
Do đó GTLN \(=\dfrac{4}{3},\) đạt khi \(2x=3-x\Leftrightarrow x=1.\)
