Để hàm số \(y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{mx^2}{2}+x+5\) đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\) thì giá trị của tham số m là
\(m\le-2\).\(m\ge-2\).\(m\le-4\).\(m\ge-4\).Hướng dẫn giải:\(y=\frac{x^3}{3}+\frac{mx^2}{2}+x+5\Rightarrow y'=x^2+mx+1\)
Đặt \(\varphi\left(x\right)=x^2+mx+1\).
Tam thức này có \(\Delta=m^2-4\).
* Nếu \(\Delta\le0\Leftrightarrow m^2-4\le0\Leftrightarrow-2\le m\le2\) thì \(\varphi\left(x\right)\ge0\)
\(\Rightarrow y\) tăng trên \(\mathbb{R}\).
* Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow m^2-4>0\) thì \(\varphi\left(x\right)\) có hai nghiệm \(x_1< x_2\)
Để \(\varphi\left(x\right)>0\) trên \(\left(1;+\infty\right)\) thì \(x_1< x_2\le1\Rightarrow\)\(\begin{cases}\varphi\left(1\right)\ge0\\-\frac{m}{2}-1< 0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m>-2\)
Hợp với \(-2\le m\le2\) và \(\Delta>0\) thì \(m\ge-2\).