Đặt \(I=\int\limits^2_0\frac{\text{d}x}{4+x^2}\) và \(x=2\tan t\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(4+x^2=4\left(1+\tan^2t\right)\). \(\text{d}x=2\left(1+\tan^2t\right)\text{d}t\). \(I=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{2}\text{d}t\). \(I=\frac{3\pi}{4}\). Hướng dẫn giải:Đặt \(x=2\tan t\) suy ra \(\text{d}x=2.\frac{1}{\cos^2t}\text{d}t=2\left(1+\tan^2t\right)\text{d}t\)
Đổi cận: \(x|^2_0\Rightarrow t|^{\frac{\pi}{4}}_0\)
Thay vào ta có:
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{2\left(1+\tan^2t\right)\text{d}t}{4+4\tan^2t}\)
\(=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\frac{1}{2}\text{d}t\)
\(=\frac{1}{2}t|^{\frac{\pi}{4}}_0=\frac{1}{2}.\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}\).
