Cho phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0\). Hỏi \(m=?\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và biểu thức \(B=x_1+x_2-2x_1x_2\) đạt giá trị lớn nhất.
\(m=\dfrac{1}{2}\).\(m=2\).\(m=\dfrac{1}{3}\).\(m=-\dfrac{1}{2}\).Hướng dẫn giải:Để phương trình \(x^2-2\left(m+4\right)x+m^2-8=0\) có hai nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta'>0\Leftrightarrow\left(m+4\right)^2-\left(m^2-8\right)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2+8m+16-m^2+8>0\)
\(\Leftrightarrow8m+24>0\)\(\Leftrightarrow m>-3\).
\(B=x_1+x_2-2x_1x_2\) \(=2\left(m+4\right)-2\left(m^2-8\right)\)\(=-2m^2+2m+24\).
Ta thấy:
\(B=-2m^2+2m+24=-2\left(m^2-m-12\right)\)\(=-2\left[\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}\right]\)\(=-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{49}{2}\)
Vì \(-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{49}{2}\le\dfrac{49}{2}\) nên GTLN của B \(=\dfrac{49}{2}\) khi \(-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\). (tm)
