Cho phương trình \(x^2-2\left(m+3\right)x+m^2-8=0\). Hỏi với những giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
và biểu thức \(A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\) có giá trị bằng 3?
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì :
\(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\\left(m+3\right)^2-\left(m^2-8\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow6m+17>0\)\(\Leftrightarrow m>-\dfrac{17}{6}\).
\(A=x_1^2+x_2^2-x_1-x_2\)\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)
\(=\left[2\left(m+3\right)\right]^2-2\left(m^2-8\right)-2\left(m+3\right)\)
\(=4\left(m^2+6m+9\right)-2m^2+16-2m-6\). Vì cần có \(A=3\) nên
\(A=2m^2+22m+46=3\)
\(\Rightarrow2m^2+22m+43=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{-11+\sqrt{35}}{2}\left(tm\right)\\m=\frac{-11-\sqrt{35}}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy có giá trị \(m=\frac{-11+\sqrt{35}}{2}\) thỏa mãn yêu cầu của đầu bài.
