Cho phương trình \(x^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0\) .
Hỏi \(m=?\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x^2_1+x^2_2=8\).
\(m=1\) hoặc \(m=\dfrac{7}{2}\).\(m=\dfrac{7}{2}\).\(m=2\) hoặc \(m=3\).\(m=-\dfrac{4}{5}\) hoặc \(m=3\).Hướng dẫn giải:Để phương trình \(x^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0\) có hai nghiệm phân biệt thì :
\(\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\\Delta'>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ne0\\\left(m-2\right)^2-\left(m-3\right)>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m^2-4m+4-m+3>0\)\(\Leftrightarrow m^2-5m+7>0\)\(\Leftrightarrow\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
Điều này đúng với mọi m nên với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng định lý Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=\left[2\left(m-2\right)\right]^2-2\left(m-3\right)=4\left(m-2\right)^2-2m+6\)\(=4\left(m^2-4m+4\right)-2m+6=4m^2-18m+22=8\)
\(\Rightarrow4m^2-18m+14=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy m = 1 hoặc \(m=\dfrac{7}{2}\) là các giá trị cần tìm .
