Cho parabol (P) : \(y^2=8x\). (d) là một đường thẳng bất kỳ qua tiêu điểm F của (P) và (d) không song song với hai trục tọa độ, cắt (P) tại \(M_1\) và \(M_2\). Tích số các khoảng cách từ \(M_1\) và \(M_2\) đến trục Ox không đổi. Tìm giá trị không đổi đó.
8 12 16 20 Hướng dẫn giải:Parabol đã cho có phương trình \(y^2=8x=2.4x\), tham số tiêu là \(p=4\), suy ra tiêu điểm là \(F\left(2;0\right)\). Đường thẳng (d) qua F và không song song với Oy có phương trình dạng \(y=k\left(x-2\right)\). Hệ phương trình xác định tọa độ các giao điểm của (d) và (P) là \(\left\{{}\begin{matrix}y=k\left(x-2\right)\\y^2=8x\end{matrix}\right.\).
Khử x từ hệ trên ta được \(y=k\left(\dfrac{y^2}{8}-2\right)\Leftrightarrow ky^2-8y-16k=0\). Phương trình này luôn có hai nghiệm trái dấu \(k_1,k_2\) (chú ý rằng do giả thiết (d) không song sonhg với trục hoành nên \(k\ne0\)) , theo Viet có \(y_1y_2=-16\), do đó đường thẳng và parabol luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \(M_1\left(x_1;y_1\right),M_2\left(x_2;y_2\right)\). Khoảng cách từ hai điểm này tới trục Ox là \(\left|y_1\right|,\left|y_2\right|\). Tích các khoảng cách này là \(\left|y_1\right|.\left|y_2\right|=\left|y_1y_2\right|=\left|-16\right|=16\).