Cho parabol (P) : \(\left(x+2\right)^2=-6y\) và đường thẳng (d) : \(3x+2y+5=0\). Tiếp tuyến của (P) vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình :
\(2x-3y+4=0\) \(2x-3y+6=0\) \(2x-3y-4=0\) \(2x-3y-6=0\) Hướng dẫn giải:
Đường thẳng (d): \(3x+2y+5=0\) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(3;2\right)\), do đó các đường thẳng vuông góc với (d) có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n'}\left(2;-3\right)\).
Sử dụng phép chuyển hệ tọa độ \(\left\{{}\begin{matrix}x+2=X\\y=Y\end{matrix}\right.\) thì trong hệ tọa độ mới parabol có phương trình
(P): \(X^2=-6Y=-2pY\) với \(p=3\).
Các đường thẳng vuống góc với (d) có phương trình dạng: (d'): \(2X-3Y+C=0\)
(d') tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi \(-2^2.3=2.\left(-3\right).C\Leftrightarrow C=2\). Trong hệ tọa độ mới, tiếp tuyến của (P) vuông góc với (d) có phương trình \(2X-3Y+2=0\)
Trong hệ tọa độ Oxy, tiếp tuyến vuông góc với (d) có phương trình
\(2\left(x+2\right)-3y+2=0\Leftrightarrow2x-3y+6=0\)