Cho mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x+y+3z+1=0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình tham số:
\(d:\begin{cases}x=-3+t\\y=2-2t\\z=1\end{cases}\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
\(d\perp\left(\alpha\right)\) \(d\) không vuông góc nhưng cắt \(\left(\alpha\right)\) \(d\) // \(\left(\alpha\right)\) \(d\subset\left(\alpha\right)\) Hướng dẫn giải:Vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) là \(\overrightarrow{n_{\alpha}}=\left(2;1;3\right)\)
Đường thẳng \(d\) đi qua A(-3;2;1) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow{u_d}=\left(1;-2;0\right)\) .
Dễ thấy: \(\overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{u_d}=\left(2;1;3\right).\left(1;-2;0\right)=2.1+1.\left(-2\right)+3.0=0\)
=> \(d\) vuông góc với vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) => \(d\) song song hoặc nằm trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\).
Ta kiểm tra A(-3;2;1) có thuộc \(\left(\alpha\right)\) không? Thay tọa độ A vào phương trình của \(\left(\alpha\right)\) ta có:
2.(-3) + 2 +3.1 + 1 = 0
<=> 0 = 0 Thỏa mãn.
Vậy \(d\) đi qua A thuộc \(\left(\alpha\right)\) và \(d\) vuông góc với vecto pháp tuyến của \(\left(\alpha\right)\) => \(d\subset\left(\alpha\right)\)
