Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, \(SA\) vuông góc với đáy và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) bằng \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\). Tính thể tích khối chóp đã cho.
\(a^3\).\(\dfrac{a^3}{2}\).\(\dfrac{\sqrt{3}a^3}{9}\).\(\dfrac{a^3}{3}\).Hướng dẫn giải:
Kẻ AH vuông góc với SB thì dễ chứng minh được AH vuông góc với mp (SBC) và là khoảng cách từ A tới mp (SBC), theo giả thiết khoảng cách này bằng \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) tức là \(AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\) Từ đó tam giác AHC vuông cân ở H, cạnh huyền AB \(=a\), suy ra \(\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB=a.\) Vậy khối chóp có thể tích bằng \(\dfrac{1}{3}a^2.a=\dfrac{a^3}{3}.\)
