Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) và điểm \(M\left(5;1\right)\). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, cắt hyperbol (H) tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
\(20x+9y-91=0\) \(20x-9y-91=0\) \(20x+9y+91=0\) \(20x-9y+91=0\)Hướng dẫn giải:
Đường thẳng qua \(M\left(5;1\right)\) song song với trục tung có phương trình \(x=5\) và cắt hypebol đã cho tại hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành nên \(M\left(5;1\right)\) không thể là trung điểm của AB, không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đường thẳng d qua \(M\left(5;1\right)\)không song song với trục tung có phương trình dạng \(y=k\left(x-5\right)+1\)trong đó k là hệ số góc. Viết lại phương trình hypebol đã cho ta được \(4x^2-9y^2-36=0\), các giao điểm A, B của d với hypebol dã cho có hoành độ thỏa mãn
\(4x^2-9\left(kx-5k+1\right)^2-36=0\)\(\Leftrightarrow\left(4-9k^2\right)x^2-18k\left(-5k+1\right)x-9\left(-5k+1\right)^2-36=0\) (1)
Để \(M\left(5;1\right)\) là trung điểm đoạn AB, cần và đủ là hai nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=5\), theo Viet, điều này có nghĩa là
\(\dfrac{9k\left(-5k+1\right)}{4-9k^2}=5\Leftrightarrow9k=20\Leftrightarrow k=\dfrac{20}{9}\)
Dễ thử lại được rằng khi \(k=\dfrac{20}{9}\) thì (1) có nghiệm. Vì vậy đường thẳng d nói trong đề bài có phương trình \(y=\dfrac{20}{9}\left(x-5\right)+1\)
\(\Leftrightarrow20x-9y-91=0\).
Đáp số: \(\Leftrightarrow20x-9y-91=0\).
