Cho hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{16}=1\). Tích số các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến một tiếp tuyến bất kì của (H) đến một tiếp tuyến bất kì của (H) là một hằng số. Tìm hằng số này.
20 16 4 36Hướng dẫn giải:
Hypebol đã cho có phương trình chính tắc là \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với \(a^2=20,b^2=16\), suy ra \(c^2=36\Rightarrow c=6\), hai tiêu điểm là \(F_1\left(-6;0\right),F_2\left(6;0\right)\).
Tiếp tuyến tùy ý của hypebol có phương trình \(\dfrac{x_0x}{20}-\dfrac{y_0y}{16}-1=0\), trong đó \(\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm (như vậy
\(\left(x_0;y_0\right)\in\)hypebol nên \(\dfrac{x_0^2}{20}-\dfrac{y_0^2}{16}=1\) ). Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm tới tiếp tuyến là
\(T=\dfrac{\left|\dfrac{x_0.6}{20}-\dfrac{y_0.0}{16}-1\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{x_0}{20}\right)^2+\left(\dfrac{y_0}{16}\right)^2}}.\dfrac{\left|\dfrac{x_0.\left(-6\right)}{20}-\dfrac{y_0.0}{16}-1\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{x_0}{20}\right)^2+\left(\dfrac{y_0}{16}\right)^2}}=\dfrac{\left|36.\dfrac{x_0^2}{20^2}-1\right|}{\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}}\)
Chú ý rằng từ \(\dfrac{x_0^2}{20}-\dfrac{y_0^2}{16}=1\) suy ra \(\dfrac{x_0^2}{20}>1\)\(\Rightarrow36.\dfrac{x_0^2}{20^2}>1\Rightarrow\left|36.\dfrac{x_0^2}{20^2}-1\right|=3.6.\dfrac{x_0^2}{20^2}-1=\dfrac{36x_0^2}{20^2}-1\) (1)
và \(\dfrac{y_0^2}{16}=\dfrac{x_0^2}{20}-1\Rightarrow\dfrac{y_0^2}{16^2}=\left(\dfrac{x_0^2}{20}-1\right).\dfrac{1}{16}\) nên
\(\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{y_0^2}{16^2}=\dfrac{x_0^2}{20^2}+\left(\dfrac{x_0^2}{20}-1\right).\dfrac{1}{16}=\dfrac{x_0^2}{20^2}+\dfrac{x_0^2}{20.16}-\dfrac{1}{16}\)\(=\dfrac{x_0^2\left(16+20\right)}{20^2.16}-\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{36x_0^2}{20^2}-1\right)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(T=16\).
Đáp số: 16.
