Cho hyperbol (H) : \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) và điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\in\left(H\right)\). Tiếp tuyến tại M của (H) cắt hai đường tiệm cận của (H) tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB .
\(a^2+b^2\) \(a^2.b^2\) \(a.b\) \(a+b\) Hướng dẫn giải:Vì \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm nên nó thuộc hypebol, do đó \(\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2\) (1)
Tiếp tuyến (T) của hypebol tại điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) có phương trình \(\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1\).
(T) cắt tiệm cận \(y=\dfrac{b}{a}x\) tại các điểm có hoành độ thỏa mãn
\(\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0.\dfrac{b}{a}x}{b^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0x}{ab}=1\Leftrightarrow\left(\dfrac{x_0}{a^2}-\dfrac{y_0}{ab}\right)x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{a^2b}{bx_0-ay_0}\)
Tung độ giao điểm là \(y=\dfrac{b}{a}.\dfrac{a^2b}{bx_0-ay_0}=\dfrac{ab^2}{bx_0-ay_0}\). Giao điểm là \(A\left(\dfrac{a^2b}{bx_0-ay_0};\dfrac{ab^2}{bx_0-ay_0}\right)\).
Tương tự, T cắt tiệm cận \(y=-\dfrac{b}{a}x\) tại \(B\left(\dfrac{a^2b}{bx_0+ay_0};\dfrac{-ab^2}{bx_0+ay_0}\right)\). Diện tích tam giác OAB là \(S=\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin\widehat{AOB}\)
trong đó \(OA=\sqrt{\dfrac{a^4b^2}{\left(bx_0-ay_0\right)^2}+\dfrac{a^2b^4}{\left(bx_0-ay_0\right)^2}}=\dfrac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{\left|bx_0-ay_0\right|}\)
\(OB=\sqrt{\dfrac{a^4b^2}{\left(bx_0+ay_0\right)^2}+\dfrac{a^2b^4}{\left(bx_0+ay_0\right)^2}}=\dfrac{ab\sqrt{a^2+b^2}}{\left|bx_0+ay_0\right|}\)
Đặt \(\varphi=\widehat{xOA}\) thì \(\tan\varphi=\dfrac{b}{a}\) và \(\widehat{AOB}=2\varphi\), \(\sin\widehat{AOB}=\sin2\varphi=\dfrac{2\tan\varphi}{1+\tan^2\varphi}=\dfrac{\dfrac{2b}{a}}{1+\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\). Do đó
\(S=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a^2b^2\left(a^2+b^2\right)}{\left|\left(bx_0-ay_0\right)\left(bx_0+ay_0\right)\right|}.\dfrac{2ab}{a^2+b^2}=\dfrac{a^3b^3}{\left|b^2x_0^2-a^2y_0^2\right|}\) (2)
Thế (1) vào (2) suy ra \(S=ab\).
Đáp số: \(ab\)