Cho hyperbol (H) có hai tiêu điểm \(F_1;F_2\) nằm trên trục Ox và đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. Một điểm \(M\in\left(H\right)\) có hoành độ \(x_M=-5\). Các bán kính qua tiêu điểm M có độ dài lần lượt bằng \(\frac{9}{4}\) và \(\frac{41}{4}\). Viết phương trình chính tắc của (H).
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) \(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{15}=1\) \(\frac{x^2}{15}-\frac{y^2}{20}=1\)Hướng dẫn giải:
Phương trình chính tắc của (H) có dạng: \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) , hai tiêu điểm \(F_1\left(-c;0\right),F_2\left(c;0\right)\) xác định bởi \(c^2=a^2+b^2\). Theo giả thiết \(x_M=-5\) suy ra M thuộc nhánh bên trái của (H) và áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có \(F_1M=-\dfrac{c}{a}\left(-5\right)-a=\dfrac{5c}{a}-a\). Theo giả thiết có \(\dfrac{5c}{a}-a=\dfrac{9}{4}\). Tương tự ta cũng có \(\dfrac{5c}{a}+a=\dfrac{41}{4}\), từ đó \(a=4,c=5\); \(b^2=c^2-a^2=9\), do đó (H) có phương trình chính tắc \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\).
