Cho hyperbol (H) : \(9x^2-16y^2-144=0\). Tìm tâm sai của elip (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) và có chung tiêu điểm với (H).
\(\frac{\sqrt{10}}{4}\) \(\frac{\sqrt{10}}{5}\) \(\frac{\sqrt{10}}{6}\) \(\frac{\sqrt{10}}{8}\)Hướng dẫn giải:
Viết lại phương trình của (H) ta được \(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\). Nửa tiêu cự của (H) là \(c\) thỏa mãn \(c^2=16+9\Leftrightarrow c=5\). Theo giả thiết, (E) và (H) có chung tiêu điểm nên \(c=5\) cũng là nửa tiêu cự của (E). Do đó nếu \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) là phương trình chính tắc của (E) thì \(a^2-b^2=c^2=25\Leftrightarrow b^2=a^2-25\) và phương trình chính tắc của (E) là
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2-25}=1\) (điều kiện \(a^2>25\)).
Mặt khác từ phương trình chính tắc của (H) suy ra \(A\left(4;3\right)\) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) vfa lại theo giả thiết thì (E) đi qua đỉnh này, do đó:
\(\dfrac{4^2}{a^2}+\dfrac{3^2}{a^2-25}=1\Leftrightarrow a^4-50a^2+400=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2=40\\a^2=10\end{matrix}\right.\). Do điều kiện \(a^2>25\) suy ra chỉ có \(a^2=40\). Phương trình của (E) là \(\dfrac{x^2}{40}+\dfrac{y^2}{15}=1\). Tâm sai của (E) là
\(e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\dfrac{25}{40}}=\dfrac{5}{2\sqrt{10}}\)=\(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\).
Đáp số: \(e=\dfrac{\sqrt{10}}{4}\)
