Cho họ đường thẳng \(\left(\Delta\varphi\right):x.\cos\varphi+y.\sin\varphi-\sqrt{4\cos2\varphi+1}=0\) với \(\varphi\) là tham số. Khi \(\varphi\) thay đổi, \(\left(\Delta\varphi\right)\) luôn tiếp xúc với một hyperbol cố định. Viết phương trình chính tắc hypebol đó.
\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\) \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\) \(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{3}=1\) \(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{5}=1\) Hướng dẫn giải:\(\left(\Delta\varphi\right)\) sẽ tiếp xúc với hypebol (H): \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) khi và chỉ khi \(\cos^2\varphi,a^2-\sin^2\varphi.b^2=4\cos2\varphi+1\)(1)
Sử dụng các công thức \(\cos2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi;1=\cos^2\varphi+\sin^2\varphi\)thì (1) tương đương với
\(\left(a^2-5\right)\cos^2\varphi-\left(b^2-3\right)\sin^2\varphi=0\) (2)
Để \(\left(\Delta\varphi\right)\) luôn tiếp xúc với (H), điều kiện cần và đủ là (2) đúng với mọi giá trị của \(\varphi\), tức là \(\left(a^2-5\right)=0,\left(b^2-3\right)=0\). Vậy \(\left(\Delta\varphi\right)\) luôn tiếp xúc với hypebol cố định (H): \(\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{3}=1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{3}=1\).