Cho họ đường thẳng \(\left(\Delta t\right):3x\cot-4y\sin+\sqrt{5+\cos2t}=0\) với t là tham số. Khi t thay đổi, \(\left(\Delta t\right)\) luôn tiếp xúc với một elip (E) cố định. Viết phương trình elip đó.
\(\frac{x^2}{2}+4y^2=1\) \(4x^2+\frac{y^2}{2}=1\) \(\frac{x^2}{4}+2y^2=1\) \(\frac{x^2}{2}+2y^2=1\) Hướng dẫn giải:Xét elip (E): \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Đường thẳng \(\left(\Delta t\right):3x\cot-4y\sin+\sqrt{5+\cos2t}=0\) sẽ tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi
\(\left(3\cos t\right)^2.a^2+\left(-4\sin t\right)^2.b^2=\left(\sqrt{5+\cos2t}\right)^2\) (1)
Biến đổi tương đương điều kiện (1): \(9\cos^2t.a^2+16\sin^2t.b^2=5\left(\cos^2t+\sin^2t\right)+\cos^2t-\sin^2t\)
hay \(3\left(a^2-2\right)\cos^2t+4\left(4b^2-1\right)\sin^2t=0\)
Điều kiện này sẽ xảy ra với mọi t khi và chỉ khi \(a^2=2;b^2=\dfrac{1}{4}\). Do đó, khi t thay đổi, họ đường thẳng \(\left(\Delta t\right):3x\cot-4y\sin+\sqrt{5+\cos2t}=0\) luôn tiếp xúc với elip cố định \(\dfrac{x^2}{2}+4y^2=1\).
Đáp số: \(\dfrac{x^2}{2}+4y^2=1\)