Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGK. Biết A trùng với gốc tọa độ, B(0; a; 0), D(a; 0; 0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG, (a,b >0).
Xác định tỉ số của a và b để mặt phẳng (EBD) vuông góc với mặt phẳng (MBD).
A(0;0;0)
B(0;a;0)
D(a;0;0)
C(a;a;0)
E(0;0;b)
G(a;a;b)
do M là trung điểm của CG nên \(M\left(a,a,\frac{b}{2}\right)\).
Mặt phẳng ( EBD) có VTPT:
\(\left[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE}\right]=\left[\left(a;-a;0\right),\left(0;-a;b\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}-a&0\\-a&b\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&a\\b&0\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a&-a\\0&-a\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(-ab,-ab,-a^2\right)=-a\left(b,b,a\right)\)
Mặt phẳng (MBD) có VTPT:
\(\left[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BM}\right]=\left[\left(a;-a;0\right),\left(a;0;\frac{b}{2}\right)\right]=\left(\left|\begin{matrix}-a&0\\0&\frac{b}{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}0&a\\\frac{b}{2}&a\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}a&-a\\a&0\end{matrix}\right|\right)\),
\(=\left(-\frac{ab}{2};-\frac{ab}{2};a^2\right)=-\frac{a}{2}\left(b;b;-2a\right)\).
Hai mặt phẳng ( EBD ) và ( MBD) vuông góc với nhau nên tích vô hướng của hai vec tơ pháp tuyến bằng 0.
b.b + b.b +a (-2a) = 0
\(\Leftrightarrow a^2=b^2\)
Do a > 0, b > 0 nên \(\frac{a}{b}=1.\)
