Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có
\(S=\left(0;0;\sqrt{2}\right)\) , \(A\left(1;1;0\right)\), \(B\left(-1;1;0\right)\), \(C=\left(-1;-1;0\right)\), \(D=\left(1;-1;0\right)\).
Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) và \(\left(SAD\right)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{4}\) Hướng dẫn giải:Mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow{SA}\left(1;1;-\sqrt{2}\right),\overrightarrow{SB}\left(-1;1;-\sqrt{2}\right)\)
\(\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&-\sqrt{2}\\1&-\sqrt{2}\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}-\sqrt{2}&1\\-\sqrt{2}&-1\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right|\right)\)\(=\left(0;2\sqrt{2};2\right)=2.\left(0;\sqrt{2};1\right)\)
\(\left(SAB\right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\left(0;\sqrt{2};1\right)\).
Tương tự, \(\left(SAD\right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n'}\left(0;-\sqrt{2};1\right)\).
Côsin của giữa hai mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) và \(\left(SAD\right)\) bằng:
\(\cos\left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'}\right)=\frac{\left|0.0-\sqrt{2}\sqrt{2}+1.1\right|}{\sqrt{0^2+\sqrt{2}^2+1^2}\sqrt{0^2+\left(-\sqrt{2}\right)^2+1^2}}=\frac{1}{3}\)
