Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B,AB=a,BC=a\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{3}\) . Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
\(2\pi a^3\sqrt{6}\).\(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{3}\).\(\pi a^3\sqrt{6}\).\(\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{2}\).Hướng dẫn giải:
Gọi \(O\) là trung điểm \(SC\), ta thấy \(OS=OB=OC\).
Do \(CB\perp AB;CB\perp SA\Rightarrow CB\perp\left(SAB\right)\Rightarrow CB\perp SB\)
Vậy \(SBC\) là tam giác vuông tại \(B\) nên ta cũng có \(OS=OB=OC\). Vậy\(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Ta có \(AC^2=AB^2+BC^2\Rightarrow SC^2=SA^2+AC^2=SA^2+AB^2+BC^2\)
\(=a\sqrt{6}\)
Do đó \(OS=OA=OB=OC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
Thể tích khối cầu là: \(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\right)^3=\pi a^3\sqrt{6}\)
