Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}-x+1\). Từ điểm \(M\left(2;-1\right)\) có thể kẻ đến đồ thị (P) của hàm số hai tiếp tuyến phân biệt. Viết phương trình hai tiếp tuyến đó.
\(y=-x+1\) và \(y=x-3\).\(y=-x+3\) và \(y=x+1\).\(y=-x-3\) và \(y=x-1\).\(y=-x-1\) và \(y=x+3\).Hướng dẫn giải:Ta có \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}-x+1\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{x}{2}-1\). Tiếp tuyến tổng quát của (P) có phương trình \(y=f'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)\). Chọn \(x_0\) để tiếp tuyến này qua \(M\left(2;-1\right)\) tức là chọn \(x_0\) sao cho
\(-1=f'\left(x_0\right)\left(2-x_0\right)+f\left(x_0\right)\Leftrightarrow-1=\left(\dfrac{x_0}{2}-1\right)\left(2-x_0\right)+\dfrac{x_0^2}{4}-x_0+1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x_0^2}{4}-x_0=0\Leftrightarrow x_0=0;x_0=4\).
Với \(x_0=0\) thì \(f'\left(x_0\right)=-1,f\left(x_0\right)=1\) tiếp tuyến có phương trình \(y=-\left(x-0\right)+1\Leftrightarrow y=-x+1\).
Với \(x_0=4\) thì \(f'\left(x_0\right)=1,f\left(x_0\right)=1\) tiếp tuyến có phương trình \(y=1.\left(x-4\right)+1\Leftrightarrow y=x-3\). Đáp số: \(y=-x+1\) và \(y=x-3\).
