Cho hàm số \(y=a\sin x+b\cos x+x\) (với a,b là tham số). Điều kiện cần và đủ để hàm số luôn luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
\(\begin{cases}a^2+b^2< 1\\a>1\end{cases}\).\(0\le a^2+b^2\le1\).\(\begin{cases}a^2+b^2>1\\a< 1\end{cases}\).\(\begin{cases}a^2+b^2\ge1\\a>1\end{cases}\).Hướng dẫn giải:Xét 2 trường hợp sau:
- TH1: $a = b = 0$, khi đó $y = x$ là hàm luôn đồng biến.
- TH2: \(a\ne0\) hoặc \(b\ne0\)
\(y'=a\cos x-b\sin x+1\)
\(=\left[\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\)
\(=\left[\cos\phi.\cos x-\sin\phi.\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\)
(với góc \(\phi\) thỏa mãn \(\cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\))
\(=\left[\cos\left(x+\phi\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\right]\sqrt{a^2+b^2}\)
Để hàm số đồng biến với mọi $x$ thì \(y'\ge0\) với mọi $x$, hay là:
\(\cos\left(x+\phi\right)+\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge0\) với mọi x
\(\Leftrightarrow\cos\left(x+\phi\right)\ge\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) với mọi x
\(\Leftrightarrow-1\ge\frac{-1}{\sqrt{a^2+b^2}}\) (vì \(\cos\left(x+\phi\right)\in\left[-1;1\right]\))
\(\Leftrightarrow1\le\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\le1\), đối chiếu với trường hợp đang xét ta có: \(0\ne a^2+b^2\le1\).
Tổng hợp cả hai trường hợp ta có: \(0\le a^2+b^2\le1\) .