Cho đường thẳng \(\left(d_1\right)\) : \(2x+y-5=0\) và hyperbol (H) : \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{17}=1\). Viết phương trình các tiếp tuyến của (H) tạo với (d) 1 góc \(45^0\).
\(x-3y+8=0\) và \(x-3y-8=0\) \(x+3y+8=0\) và \(x+3y-8=0\) \(3x-y+8=0\) và \(3x-y-8=0\) \(3x+y+8=0\) và \(3x+y-8=0\) Hướng dẫn giải:\(\left(d_1\right)\): \(2x+y-5=0\) có hệ số góc \(k_1=2\) , đường thẳng \(\left(d\right)\) sẽ tạo với \(\left(d_1\right)\) một góc \(45^0\) nếu hệ số góc \(k\) của nó thỏa mãn điều kiện
\(\dfrac{k-k_1}{1+kk_1}=\pm1\Leftrightarrow kk_1+1=\pm\left(k-k_1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{-k_1-1}{k_1-1}=3\\k=\dfrac{k_1-1}{k_1+1}=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(k=3\) thì \(\left(d\right)\) có phương trình dạng \(y=3x+c\Leftrightarrow3x-y+c=0\). Đường thẳng này sẽ tiếp xúc với hypebol đã cho khi và chỉ khi
\(3^2.9-\left(-1\right)^2.17=c^2\Leftrightarrow c^2=64\Leftrightarrow c=\pm8\)
Hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 là \(3x-y\pm8=0\).
Nếu \(k=-\dfrac{1}{3}\) thì \(\left(d\right)\) có phương trình \(y=-\dfrac{1}{3}x+c\Leftrightarrow x+3y-c=0\). Điều kiện để đường thẳng này tiếp xúc với hypebol (H): \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{17}=1\) là
\(1^2.9-3^2.17=c^2\Leftrightarrow c^2=-9.16\), không xảy ra.
Đáp số: \(3x-y+8=0\) , \(3x-y-8=0\)