Cho điểm \(M\left(1;-4;-3\right)\) và mặt phẳng \(\left(\beta\right):5x+y-2z+8=0\). Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chứa \(M,\) song song với trục \(Ox\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right)\). Viết phương trình của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) .
\(2y-z+11=0\).\(2y+z+11=0\).\(y-2z+11=0\).\(y+2z+11=0\).Hướng dẫn giải:\(\left(\beta\right):5x+y-2z+8=0\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(5;1;-2\right)\) là vecto pháp tuyến của \(\left(\beta\right)\). Đường thẳng \(Ox\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right).\)
Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là một vecto chỉ phương của \(\left(\alpha\right)\).
Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) song song với \(Ox\) nên \(\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right).\) là một vecto chỉ phương nữa của \(\left(\alpha\right)\).
Như vậy \(\left(\alpha\right)\) có cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow{n}\left(5;1;-2\right),\overrightarrow{i}\left(1;0;0\right),\) nên \(\left(\alpha\right)\) có vecto pháp tuyến
\(\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{i}\right]=\left(0;-2;-1\right)=-\left(0;2;1\right).\)
Do đó phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có dạng \(2y+z+D=0\). Vì \(\left(\alpha\right)\) chứa điểm \(M\left(1;-4;-3\right)\) nên \(2.\left(-4\right)+1.\left(-3\right)+D=0\Rightarrow D=11.\)
Đáp số: \(\left(\alpha\right):2y+z+11=0.\)
