Cho điểm \(M\left(-3;2;-1\right)\) và hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+3y-5z+3=0;\left(\beta\right):2x-y-2z-5=0\). Gọi (\(\left(P\right)\)) là mặt phẳng chứa điểm \(M\), vuông góc với cả hai mặt phăng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\). Viết phương trình của mặt phẳng (P) .
\(11x+8y-7z+12=0\).\(11x-8y+7z+24=0\).\(11x+8y+7z+24=0\).\(11x+8y-7z+24=0\).Hướng dẫn giải:\(\left(\alpha\right):x+3y-5z+3=0;\left(\beta\right):2x-y-2z-5=0\Rightarrow\overrightarrow{a}\left(1;3;-5\right),\overrightarrow{b}\left(2;-1;-2\right)\) là các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\).
\(\left(P\right)\) vuông góc với hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) nên \(\left(P\right)\) nhận hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) làm cặp vecto chỉ phương, do đó \(\left(P\right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(-11;-8;-7\right)\). Phương trình của \(\left(P\right)\) có dạng \(-11x-8y-7z+D=0.\)
\(\left(P\right)\) chứa \(M\left(-3;2;-1\right)\) nên \(D=11.\left(-3\right)+8.2+7.\left(-1\right)=-24.\)
Vậy \(\left(P\right)\) có phương trình \(-11x-8y-7z-24=0\Leftrightarrow11x+8y+7z+24=0.\)
