Cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng (d) : \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}\).
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, vuông góc và cắt (d).
\(\Delta:\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}\) \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}\) \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}\) \(\Delta:\) \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-2}{1}\) Hướng dẫn giải:Giả sử \(\Delta\) vuông góc với (d) và cắt (d) tại \(B\left(x_0;y_0;z_0\right)\) thì ta có:
\(\begin{cases}AB\perp d\\B\in d\end{cases}\)
=> \(\begin{cases}\left(x_0-1;y_0;z_0-2\right).\left(1;1;2\right)=0\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}\end{cases}\)
=> \(\begin{cases}x_0-1+y+2\left(z_0-2\right)=0\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}=k\end{cases}\)
=> \(\begin{cases}\left(k+1-1\right)+k+2\left(2k-1-2\right)=0\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}=k\end{cases}\)
=> \(\begin{cases}k=1\\\frac{x_0-1}{1}=\frac{y_0}{1}=\frac{z_0+1}{2}=k\end{cases}\)
=> \(x_0=2;y_0=1;z_0=1\)
Vậy phương trình \(\Delta\) chính là phương trình AB:
\(\frac{x-x_A}{x_0-x_A}=\frac{y-y_A}{y_0-y_A}=\frac{z-z_A}{z_0-z_A}\)
Hay là:
\(\frac{x-1}{2-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1-2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}\)