Cho ba mặt phẳng
\(\left(\alpha\right):3x-y+z-2=0\); \(\left(\beta\right):x+4y-5=0\); \(\left(\gamma\right):2x-z+7=0.\)
Viết phương trình mặt phẳng \(\left(P\right)\) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\gamma\right).\)
\(-x+22y-2z-21=0.\) \(x+22y-2z+21=0\) \(x-22y+2z-21=0\) \(4x+y+8z+1=0\) Hướng dẫn giải:\(\left(P\right)\) chứa giao tuyến của \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) nên \(\left(P\right)\) thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi hai mặt phẳng này.
Dễ thấy \(\left(\alpha\right)\) không vuông góc với \(\left(\gamma\right)\) nên \(\left(P\right)\ne\left(\alpha\right)\), do đó \(\left(\alpha\right)\) có phương trình dạng
\(m.\left(3x-y+z-2\right)+x+4y-5=0\Leftrightarrow\left(3m+1\right)x+\left(-m+4\right)y+mz-2m-5=0\)
\(\left(P\right)\) và \(\left(\gamma\right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{p}\left(3m+1;-m+4;m\right)\) và \(\overrightarrow{c}\left(2;0;-1\right)\).
\(\left(P\right)\) và \(\left(\gamma\right)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{p}.\overrightarrow{c}=0\Leftrightarrow\left(3m+1\right).2-m=0\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}\).
Do đó phương trình của \(\left(P\right)\) là
\(\left(3.\left(-\frac{2}{5}\right)+1\right)x+\frac{22}{5}y-\frac{2}{5}z-2.\left(-\frac{2}{5}\right)-5=0\)
\(\Leftrightarrow-x+22y-2z-21=0.\)
