Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(3m^3\). Tỉ số giữa chiều cao của hố (\(h\)) và chiều rộng của đáy (\(y\)) bằng \(4\). Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy, không có nắp. Chiều dài của đáy (\(x\)) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga.
\(1m\) \(1,3m\) \(1,5m\) \(2m\) Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có \(xyh=3,h=4y\Rightarrow4xy^2=3\Rightarrow x=\dfrac{3}{4y^2}.\)
Diện tích bề mặt hố ga cần xây là
\(S=xy+2\left(x+y\right)h=xy+2\left(x+y\right)4y=y\left(9x+8y\right)=y\left(\dfrac{27}{4y^2}+8y\right)=\dfrac{27}{4y}+8y^2.\)
Ta có \(S'=-\dfrac{27}{4y^2}+16y=\dfrac{64y^3-27}{4y^2},S'>0\) khi \(y>\dfrac{3}{4};S'< 0\) khi \(0< y< \dfrac{3}{4}.\) Suy ra \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(y=\dfrac{3}{4}.\) Khi đó chiều dài của đáy là
\(x=\dfrac{3}{4.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2}=\dfrac{4}{3}\approx1,33333...\)
