Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácVới \(a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\), ta gọi \(\frac {a} {b}\) là một phân số, trong đó \(a\) là tử số (tử) và \(b\) là mẫu số (mẫu) của phân số.
Chẳng hạn, \(\dfrac{-2}{9};\dfrac{52}{-11};...\); ... là các phân số.
Quy tắc bằng nhau của hai phân số
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) nếu \(a.d=b.c\).
Chẳng hạn:
+) Hai phân số \(\dfrac{25}{-20}\) và \(\dfrac{-5}{4}\) bằng nhau vì 25.4 = (- 20).(- 5) (cùng bằng 100).
+) Hai phân số \(\dfrac{4}{-7}\) và \(\dfrac{4}{7}\) không bằng nhau vì 4.7 ≠ (- 7).4.
Tính chất cơ bản của phân số
1. Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}\) với \(m \in \mathbb{Z}, m \neq 0\).
2. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a:n}{b:n}\) với \(n\) là ước chung của \(a\) và \(b\).
Chẳng hạn, \(\dfrac{-15}{51}=\dfrac{\left(-15\right):3}{51:3}=\dfrac{-5}{17}\).
Chú ý. Phân số tối giản là phân số mà cả tử và mẫu đều không có ước chung nào khác 1 và - 1.
Để rút gọn một phân số chưa tối giản về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.
Chẳng hạn, ƯCLN(- 21; - 56) = 7. Do đó \(\dfrac{-21}{-56}=\dfrac{\left(-21\right):7}{\left(-56\right):7}=\dfrac{-3}{-8}=\dfrac{3}{8}\).
Để quy đồng mẫu hai hay nhiều phân số có mẫu dương, ta làm như sau:
Lưu ý. Với các phân số có mẫu âm, ta viết lại thành các phân số mới bằng nó nhưng có mẫu dương.
Chẳng hạn, để quy đồng mẫu các phân số \(\dfrac{-3}{5};\dfrac{1}{-4}\) ta làm như sau:
Vậy quy đồng mẫu các phân số \(\dfrac{-3}{5};\dfrac{1}{-4}\) ta được các phân số \(\dfrac{-12}{20};\dfrac{-5}{20}\).
a) So sánh hai phân số cùng mẫu
Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Chẳng hạn, \(\dfrac{11}{24}>\dfrac{-23}{24}\) vì 11 > - 23.
b) So sánh hai phân số không cùng mẫu
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Chẳng hạn, để so sánh hai phân số \(\dfrac{-5}{12}\) và \(\dfrac{-11}{18}\) ta làm như sau:
Vì BCNN(12, 18) = 36 nên ta có: \(\dfrac{-5}{12}=\dfrac{\left(-5\right)\cdot3}{12\cdot3}=\dfrac{-15}{36};\dfrac{-11}{18}=\dfrac{\left(-11\right)\cdot2}{18\cdot2}=\dfrac{-22}{36}\).
Vì - 15 > - 22 nên \(\dfrac{-15}{36}>\dfrac{-22}{36}\). Do đó \(\dfrac{-5}{12}>\dfrac{-11}{18}\).
a) Cộng hai phân số cùng mẫu
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:
\(\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}=\dfrac{a+b}{m}\).
Chẳng hạn, \(\dfrac{-19}{18}+\dfrac{-5}{18}=\dfrac{\left(-19\right)+\left(-5\right)}{18}=\dfrac{-24}{18}=\dfrac{-4}{3}\).
b) Cộng hai phân số không cùng mẫu
Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.
Chẳng hạn, \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{5}=\dfrac{5}{15}+\dfrac{24}{15}=\dfrac{29}{15}\).
Hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Kí hiệu số đối của phân số \(\dfrac{a}{b}\) là \(-\dfrac{a}{b}\).
\(\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0\).
Lưu ý: \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}\).
Chẳng hạn, \(\dfrac{-5}{7}\) và \(\dfrac{5}{7}\) là hai số đối nhau vì \(\left(\dfrac{-5}{7}\right)+\dfrac{5}{7}=0\).
Tương tự như phép cộng số nguyên, phép cộng phân số cũng có các tính chất:
Chẳng hạn:
\(A=\dfrac{-5}{14}+\dfrac{9}{22}+\dfrac{13}{22}+\dfrac{5}{14}=\left(\dfrac{-5}{14}+\dfrac{5}{14}\right)+\left(\dfrac{9}{22}+\dfrac{13}{22}\right)=0+\dfrac{22}{22}=0+1=1\).
\(\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{m}=\dfrac{a-b}{m}\).
Chẳng hạn:
+) \(\dfrac{28}{43}-\dfrac{8}{43}=\dfrac{28-8}{43}=\dfrac{20}{43}\);
+) \(-5-\dfrac{2}{5}=\dfrac{-5}{1}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{\left(-5\right)\cdot5}{1\cdot5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{-25}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{-27}{5}\).
Lưu ý. Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ.
Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.
\(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}\).
Chẳng hạn, \(\dfrac{-21}{8}\cdot\dfrac{10}{7}=\dfrac{\left(-21\right)\cdot10}{8\cdot7}=\dfrac{-210}{56}=\dfrac{-15}{4}\).
Tương tự phép nhân số nguyên, phép nhân phân số cũng có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Chẳng hạn, \(\dfrac{-9}{16}\cdot\dfrac{8}{11}\cdot\dfrac{-16}{9}=\left(\dfrac{-9}{16}\cdot\dfrac{-16}{9}\right)\cdot\dfrac{8}{11}=1\cdot\dfrac{8}{11}=\dfrac{8}{11}\).
Hai phân số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.
Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\cdot d}{b\cdot c}\).
Chẳng hạn, phân số nghịch đảo của \(\dfrac{3}{10}\) là \(\dfrac{10}{3}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{-2}{5}:\dfrac{3}{10}=\dfrac{-2}{5}\cdot\dfrac{10}{3}=\dfrac{-20}{15}=\dfrac{-4}{3}\).
Quy tắc tìm giá trị phân số của một số
Muốn tìm \(\dfrac{m}{n}\) của một số \(a\) cho trước ta tính \(a\cdot\dfrac{m}{n}\) (\(m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}^*\)).
Chẳng hạn, \(\dfrac{5}{6}\) của - 120 là \(\dfrac{5}{6}\cdot\left(-120\right)=-100\).
Quy tắc tìm một số biết giá trị phân số của số đó
Muốn tìm một số biết \(\dfrac{m}{n}\) của số đó bằng \(b\), ta tính \(b:\dfrac{m}{n}\) (\(m,n \in \mathbb{N}^*\)).
Chẳng hạn, \(\dfrac{2}{3}\) tấm vải dài 4 m. Tấm vải dài \(4:\dfrac{2}{3}=4\cdot\dfrac{3}{2}=6\) mét.