Bài 7: Ôn tập chương Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Hàm lũy thừa:

1.1. Định nghĩa: Hàm số y = xa với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

1.2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = xα là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0.

    • D = (0;+∞) với α không nguyên.

1.3. Đạo hàm: Hàm số y = xα, (α ∈ R) có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)' = α.x(α-1).

1.4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞).

D. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1).

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ.

2. Hàm số mũ: y = ax,(a > 0, a ≠ 1).

2.1. Tập xác định: D = R

2.2. Tập giá trị: T = (0,+∞), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x) thì t > 0.

2.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = ax nghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

2.4. Đạo hàm:

2.5. Đồ thị: Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.

3. Hàm số logarit: y = logax,(a > 0,a ≠ 1)

3.1. Tập xác định: D = (0, +∞).

3.2. Tập giá trị: T = R, nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt t = logax thì t không có điều kiện.

3.3. Tính đơn điệu:

    + Khi a > 1 thì y=logax đồng biến trên D, khi đó nếu: logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x).

    + Khi 0 < a < 1 thì y=logax nghịch biến trên D, khi đó nếu logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) < g(x).

3.4. Đạo hàm:

3.5. Đồ thị: Nhận trục tung làm đường tiệm cận đứng.