Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Trước tiên, ta đến với khái niệm phân tích đa thức thành nhân tử:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức.

Ta cùng xét ví dụ sau: Hãy viết \(4x^2-2x\) thành một tích của những đa thức.

Ta có: \(4x^2=2x.2x\); \(2x=2x.1\).

Cả hai số hạng \(4x^2\) và \(2x\) đều có chung một thừa số chung là \(2x\). Do đó, ta có thể đặt số hạng chung này ra ngoài dấu ngoặc, giống như chiều ngược lại của quy tắc nhân một số với một tổng hoặc một hiệu: \(A\left(B\pm C\right)=AB\pm AC\).

Cụ thể: \(4x^2-2x=2x.2x-2x.1=2x\left(2x-1\right)\).

Như vậy, ta đã viết đa thức \(4x^2-2x\) đã cho thành tích của hai đa thức \(2x\) và \(2x-1\).

Cách làm như ví dụ trên được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

• Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc làm nhân tử chung.
• Các số hạng bên trong dấu ngoặc có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

\(AB+AC-AD=A\left(B+C-D\right)\)

Ta có thể dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích một đa thức thành nhân tử, phục vụ cho các bài toán rút gọn biểu thức, giải phương trình, tính nhanh... 

2. Áp dụng

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(8x-10\);

b) \(x^2y-\dfrac{1}{2}xy+3x\);

c) \(4x\left(3x-2\right)-x^2\left(3x-2\right)\);

d) \(5x\left(x-2y\right)-3\left(2y-x\right)\).

Lời giải:

a) Ta có: \(8x-10=2.4x-2.5=2\left(4x-5\right).\)

b) \(x^2y-\dfrac{1}{2}xy+3x=x.xy-x.\dfrac{1}{2}y+x.3=x\left(xy-\dfrac{1}{2}y+3\right)\).

c) \(4x\left(3x-2\right)-x^2.\left(3x-2\right)=4.x.\left(3x-2\right)-x.x.\left(3x-2\right)=x\left(3x-2\right)\left(4-x\right).\)

d) \(5x\left(x-2y\right)-3\left(2y-x\right)=5x\left(x-2y\right)+3\left(x-2y\right)=\left(x-2y\right)\left(5x+3\right)\).

Nhận xét: 

• Từ ví dụ c), ta có thể thấy, nhân tử chung không nhất thiết phải là một số hoặc một đơn thức, mà nó hoàn toàn có thể là một đa thức.
• Giống như trong ví dụ d), nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung, ta cần đổi dấu các hạng tử. Ta có tính chất: \(A=-\left(-A\right)\).

Lưu ý: Khi đặt nhân tử chung ra ngoài, cần chú ý đến dấu của các số hạng trong ngoặc. Đây cũng là một trong các lỗi cơ bản rất dễ gặp phải, ta cần đặc biệt lưu ý.

Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết:

a) \(3x^3-12x=0\);

b) \(2x\left(5-3x\right)-5+3x=0\).

Lời giải:

a) \(3x^3-12x=0\) \(\Leftrightarrow3x.x^2-3x.4=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x^2-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=0\\x-2=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\).

Vậy \(x=0;x=2;x=-2\) là các giá trị cần tìm.

b) \(2x\left(5-3x\right)-5+3x=0\) \(\Leftrightarrow2x\left(5-3x\right)-\left(5-3x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(5-3x\right)\left(2x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5-3x=0\\2x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).

Vậy \(x=\dfrac{5}{3};x=\dfrac{1}{2}\) là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức \(A=x\left(x-y\right)+2\left(y-x\right)\) tại \(x=102;y=12\).

Với ví dụ này, ta cũng có thể thay trực tiếp \(x=102;y=12\) vào biểu thức \(A\), tuy nhiên quá trình tính toán sẽ phức tạp. Thay vào đó, ta có thể biến đổi biểu thức \(A\) sao cho quá trình tính toán được đơn giản hơn, ở đây ta sẽ phân tích \(A\) thành nhân tử.

Cụ thể:

\(A=x\left(x-y\right)+2\left(y-x\right)\) \(=x\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)=\left(x-2\right)\left(x-y\right)\).

Với \(x=102;y=12\) ta có: \(A=\left(102-2\right)\left(102-12\right)=100.90=9000\).