Bài 6: Cung chứa góc

1. Bài toán quỹ tích "cung chứa góc"

Bằng thực nghiệm và chứng minh chi tiết, ta có được kết luận sau:

Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha\left(0^0< \alpha< 180^0\right)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(AB\).

+) Chú ý:

• Hai cung chứa góc \(\alpha\) nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua \(AB\). Cụ thể, trong hình vẽ trên, đó là hai cung \(\stackrel\frown{AmB},\stackrel\frown{Am'B}\).
• Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích.
• Khi \(\alpha=90^0\): hai cung \(\stackrel\frown{AmB},\stackrel\frown{Am'B}\) là hai nửa đường tròn đường kính \(AB\). Như vậy: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng \(AB\) cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\).

​+) Cách vẽ cung chứa góc \(\alpha\):

• Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\).
• Vẽ tia \(Ax\) tạo với \(AB\) góc \(\alpha\).
• Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(Ax\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d\).
• Vẽ cung \(AmB\), tâm \(O\), bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(Ax\).

\(\stackrel\frown{AmB}\) như trên là cung chứa góc \(\alpha\).

+) Từ các kết quả trên, ta có một nhận xét quan trọng: 

Các điểm \(M,N,P\) cùng thuộc một đường tròn. (Đây là tính chất quan trọng để chứng minh tứ giác nội tiếp trong bài sau).

2. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(\zeta\) là một hình \(H\) nào đó, ta phải chứng minh 2 phần:

• Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\zeta\) đều thuộc hình \(H\).
• Phần đảo: Mọi điểm thuộc \(H\) đều có tính chất \(\zeta\).

Kết luận: Quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(\zeta\) là hình \(H\).

Ví dụ: Cho các hình thoi \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định. Tìm quỹ tích các điểm \(O\) là giao điểm hai đường chéo của các hình thoi đó.

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính \(AB\).

+) Phần thuận:

\(ABCD\) là hình thoi \(\Rightarrow AC,BD\) vuông góc nhau tại \(O\)

\(\Rightarrow O\) nhìn cạnh \(AB\) cố định dưới góc \(90^0\)

\(\Rightarrow O\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\).

+) Phần đảo:

Ta chứng minh: Với mọi điểm \(O\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\), ta đều dựng được hình thoi \(ABCD\) thỏa mãn.

Lấy điểm \(O\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\).

Lấy \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(O\), \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(O\).

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

\(\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.

Mặt khác: \(O\) thuộc nửa đường tròn đường kính \(AB\)

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=90^0\)

\(\Rightarrow AC,BD\) vuông góc với nhau

\(\Rightarrow ABCD\) là hình thoi.

Vậy, quỹ tích các điểm \(O\) là nửa đường tròn đường kính \(AB\).