Đây là phiên bản do Nguyễn Phương Mai
đóng góp và sửa đổi vào 12 tháng 2 2022 lúc 15:41. Xem phiên bản hiện hành
Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácĐể giải bất phương trình mũ, ta chú ý đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm mũ $a^x$, với $a>1$ hàm số đồng biến, với $0<a<1$ hàm số nghịch biến.
a) Dạng 1: $a^x>b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) Nếu $b\le 0$, nghiệm là $\forall x$.
*) Nếu $b>0$, khi đó:
+) Nếu $a>1$, nghiệm là $x>\log_ab$.
+) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x<\log_ab$
b) Dạng 2: $a^x\ge b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) Nếu $b\le 0$, nghiệm là $\forall x$.
*) Nếu $b>0$, khi đó:
+) Nếu $a>1$, nghiệm là $x\ge \log_ab$.
+) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x\le \log_ab$
c) Dạng 3: $a^x<b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) Nếu $b\le 0$, bất phương trình vô nghiệm.
*) Nếu $b>0$, khi đó:
+) Nếu $a>1$, nghiệm là $x<\log_ab$.
+) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x>\log_ab$
d) Dạng 4: $a^x\le b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) Nếu $b\le 0$, bất phương trình vô nghiệm.
*) Nếu $b>0$, khi đó:
+) Nếu $a>1$, nghiệm là $x\le \log_ab$.
+) Nếu $0<a<1$, nghiệm là $x\ge\log_ab$
Một số bất phương trình mũ có thể giải bằng cách biến đổi để đưa về bất phương trình mũ cơ bản.
Ví dụ: Giải bất phương trình: \(\frac{4^x}{4^x-3^x}< 4\)
Giải: Bất phương trình đã cho tương đương với:
\(\frac{4^x}{4^x-3^x}-4< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4^x-4.4^x+4.3^x}{4^x-3^x}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-3.4^x+4.3^x}{4^x-3^x}< 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-3+4.\frac{3^x}{4^x}}{1-\frac{3^x}{4^x}}< 0\) (chia cả tử và mẫu vế trái cho \(4^x\))
Đặt \(t=\left(\frac{3}{4}\right)^x\) (với \(t>0\)) ta được
\(\frac{-3+4t}{1-t}< 0\)
Nghiệm bất phương trình là \(t< \frac{3}{4}\) hoặc \(t>1\).
Hay là \(\left(\frac{3}{4}\right)^x< \frac{3}{4}\) hoặc \(\left(\frac{3}{4}\right)^x>1\)
\(\Leftrightarrow x>1\) hoặc \(x< 0\).
Để giải bất phương trình lôgarit, ta chú ý đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm lôgarit $\log_ax$, với $a>1$ hàm số đồng biến, với $0<a<1$ hàm số nghịch biến.
a) Dạng 1: $\log_ax>b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) nếu $a>1$, nghiệm là $x>a^b$.
*) nếu $0<a<1$, nghiệm là $0<x<a^b$.
b) Dạng 2: $\log_ax\ge b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) nếu $a>1$, nghiệm là $x\ge a^b$.
*) nếu $0<a<1$, nghiệm là $0<x\ge a^b$.
c) Dạng 3: $\log_ax<b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) nếu $a>1$, nghiệm là $0<x<a^b$.
*) nếu $0<a<1$, nghiệm là $x>a^b$.
d) Dạng 4: $\log_ax\le b$ ($a>0,a\ne 1$)
*) nếu $a>1$, nghiệm là $0<x\le a^b$.
*) nếu $0<a<1$, nghiệm là $x\ge a^b$.
Một số bất phương trình lôgarit có thể giải bằng cách biến đổi để đưa về bất phương trình lôgarit cơ bản.
Ví dụ: Giải bất phương trình:
\(\log_{0,2}^2x-5\log_{0,2}x< -8\)
Giải: Điều kiện $x>0$.
\(\log_{0,2}^2x-5\log_{0,2}x+8< 0\)
\(\Leftrightarrow2< \log_{0,2}x< 3\)
\(\Leftrightarrow0,2^2>x>0,2^3\)
\(\Leftrightarrow0,008< x< 0,04\)
Nguyễn Phương Mai đã đóng góp một phiên bản khác cho bài học này (12 tháng 2 2022 lúc 15:41) | 0 lượt thích |