Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Xét hai phân thức \(\dfrac{1}{x-2}\) và \(\dfrac{1}{3x+5}\). Theo tính chất cơ bản của phân thức, ta có:

\(\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3x+5}{\left(x-2\right)\left(5x+5\right)};\)

\(\dfrac{1}{3x+5}=\dfrac{x-2}{\left(x-2\right)\left(3x+5\right)}.\)

Ta thấy, hai phân thức mới tìm được có mẫu thức giống nhau, ta gọi đây là quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\dfrac{1}{x-2}\) và \(\dfrac{1}{3x+5}\).

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành các phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Ta kí hiệu "mẫu thức chung" là MTC. Giả sử trong ví dụ trên, ta có MTC = \(\left(x-2\right)\left(3x+5\right)\).

Để quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, trước tiên ta cần tìm được MTC của chúng.

1. Tìm mẫu thức chung

Trong ví dụ phía trên, ta có thể thấy: MTC là một tích chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Ví dụ: Xét hai phân thức \(\dfrac{1}{3xy^3}\) và \(\dfrac{1}{2x^2y}\). Ta có thể chọn MTC cho hai phân thức này là \(6x^2y^3\), hoặc \(6x^3y^5\), hoặc cũng có thể là \(12x^2y^4\)... vì chúng đều chia hết cho cả 2 mẫu thức của 2 phân thức đã cho. Tuy nhiên, \(6x^2y^3\) là MTC đơn giản nhất.

Ví dụ: Tìm mẫu thức chung của hai phân thức \(\dfrac{1}{3x^2-6x+3}\) và \(\dfrac{2x-3}{4x^2-4x}\).

Hiển nhiên ta có thể thấy, khi nhân hai mẫu thức này với nhau, ta sẽ được một đa thức chia hết cho cả hai mẫu thức, ta có thể chọn tích đó là mẫu thức chung. Tuy nhiên, mẫu thức chung này chưa phải đơn giản nhất.

Ta sẽ có cách làm tổng quát:

Muốn tìm mẫu thức chung của các phân thức đại số, ta có thể làm như sau:

+) Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

+) Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

• Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là các số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).
• Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Áp dụng cách làm trên, quay trở lại ví dụ, ta có thể làm như sau:

Ta có: \(\dfrac{1}{3x^2-6x+3}=\dfrac{1}{3\left(x^2-2x+1\right)}=\dfrac{1}{3\left(x-1\right)^2}\); \(\dfrac{2x-3}{4x^2-4x}=\dfrac{2x-3}{4x\left(x-1\right)}\).

\(\Rightarrow\) MTC: \(12x\left(x-1\right)^2.\)

Ta có thể mô tả cách tìm MTC trong ví dụ trên bằng bảng sau:

2. Quy đồng mẫu thức

Quay trở lại hai phân thức trong phần 1, ta xét bài toán: Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\dfrac{1}{3x^2-6x+3}\) và \(\dfrac{2x-3}{4x^2-4x}\).

Ở trên ta đã biết: MTC của hai phân thức này là \(12x\left(x-1\right)^2.\)

Ta có: \(12x\left(x-1\right)^2=3\left(x-1\right)^2.4x\) nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với \(4x\):

\(\dfrac{1}{3x^2-6x+3}=\dfrac{1}{3\left(x-1\right)^2}=\dfrac{4x}{4x.3\left(x-1\right)^2}=\dfrac{4x}{12x\left(x-1\right)^2}\).

Tương tự như thế: \(12x\left(x-1\right)^2=4x\left(x-1\right).3\left(x-1\right)\) nên ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với \(3\left(x-1\right)\):

\(\dfrac{2x-3}{4x^2-4x}=\dfrac{2x-3}{4x\left(x-1\right)}=\dfrac{\left(2x-3\right).3\left(x-1\right)}{4x\left(x-1\right).3\left(x-1\right)}=\dfrac{6x^2-15x+9}{12x\left(x-1\right)^2}\).

Như vậy, sau khi quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\dfrac{1}{3x^2-6x+3}\) và \(\dfrac{2x-3}{4x^2-4x}\), ta được kết quả là hai phân thức \(\dfrac{4x}{12x\left(x-1\right)^2}\) và \(\dfrac{6x^2-15x+9}{12x\left(x-1\right)^2}\).

Ta nói \(4x\) là nhân tử phụ của mẫu thức \(3x^2-6x+3\), còn \(3\left(x-1\right)\) là nhân tử phụ của mẫu thức \(4x^2-4x\).

Tổng quát: Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, ta làm như sau:

• Phân tích các mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung.
• Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
• Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\dfrac{3}{2x^2+4x}\) và \(\dfrac{5}{2x-x^2}\).

Lời giải:

Ta có: \(\dfrac{3}{2x^2+4x}=\dfrac{3}{2x\left(x+2\right)}\); \(\dfrac{5}{2x-x^2}=-\dfrac{5}{x^2-2x}=\dfrac{-5}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow\) MTC: \(2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\).

Nhân tử phụ của phân thức \(\dfrac{3}{2x^2+4x}\) là \(x-2\) nên ta có:

\(\dfrac{3}{2x^2+4x}=\dfrac{3}{2x\left(x+2\right)}=\dfrac{3\left(x-2\right)}{2x\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{3x-6}{2x\left(x+2\right)\left(x-2\right)}.\)

Nhân tử phụ của phân thức \(\dfrac{5}{2x-x^2}\) là \(2\left(x+2\right)\) nên ta có:

\(\dfrac{5}{2x-x^2}=-\dfrac{5}{x^2-2x}=\dfrac{-5}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{-5.2\left(x+2\right)}{2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{-10x-20}{2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.\)

Như vậy, quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\dfrac{3}{2x^2+4x}\) và \(\dfrac{5}{2x-x^2}\), ta được kết quả là hai phân thức \(\dfrac{3x-6}{2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\) và \(\dfrac{-10x-20}{2x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\).