Bài 3. Phép cộng, phép trừ phân số

I. PHÉP CỘNG PHÂN SỐ

1. Quy tắc cộng hai phân số

a) Cộng hai phân số cùng mẫu
 Ta đã học quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu ở tiểu học, cách làm đó vẫn đúng khi cộng hai phân số có cùng mẫu mà tử và mẫu là số nguyên.

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

\(\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{m}=\dfrac{a+b}{m}.\)

b) Cộng hai phân số không cùng mẫu 

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu của những phân số đó rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung. 

Ví dụ: Tính: \(\dfrac{-7}{12}+\dfrac{3}{-8}.\)

Giải:

Bước 1: Quy đồng mẫu hai phân số

• \(\dfrac{3}{-8}=\dfrac{-3}{8}.\)BCNN(12;8) = 24.
• \(24:12=2;24:8=3;\)
• \(\dfrac{-7}{12}=\dfrac{\left(-7\right).2}{12.2}=\dfrac{-14}{24}\) và \(\dfrac{3}{-8}=\dfrac{\left(-3\right).3}{8.3}=\dfrac{-9}{24}.\)

Bước 2. Cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

Ta có: \(\dfrac{-14}{24}+\dfrac{-9}{24}=\dfrac{\left(-14\right)+\left(-9\right)}{24}=\dfrac{-23}{24}.\)
Vậy \(\dfrac{-7}{12}+\dfrac{3}{-8}=\dfrac{-23}{24}.\)

2. Tính chất của phép cộng phân số 

Giống như phép cộng số tự nhiên, phép cộng phân số cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.

Ví dụ: Tính một cách hợp lý: \(\dfrac{-15}{24}+\dfrac{5}{9}+\dfrac{-9}{24}+\dfrac{4}{9}.\)

Giải:

\(\dfrac{-15}{24}+\dfrac{5}{9}+\dfrac{-9}{24}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{-15}{24}+\dfrac{-9}{24}+\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{9}\) 

\(=\left(\dfrac{-15}{24}+\dfrac{-9}{24}\right)+\left(\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{9}\right)=\dfrac{\left(-15\right)+\left(-9\right)}{24}+\dfrac{5+4}{9}=\left(-1\right)+1=0.\)

II. PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

1. Số đối của một phân số 

Số đối của phân số \(\dfrac{a}{b}\)kí hiệu là \(-\dfrac{a}{b}.\) Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0.\)

Lưu ý:

• Ta có: \(-\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}\) với a, b ∈ \(\mathbb{Z}\), b ≠ 0.
• Số đối của \(-\dfrac{a}{b}\) là \(\dfrac{a}{b}\), tức là \(-\left(-\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{a}{b}.\)

Ví dụ:

• Số đối của phân số \(\dfrac{3}{4}\) là \(-\dfrac{3}{4}.\)
• Số đối của phân số \(\dfrac{-5}{9}\)là \(-\left(\dfrac{-5}{9}\right)=\dfrac{-\left(-5\right)}{9}=\dfrac{5}{9}.\)

2. Quy tắc trừ hai phân số 

a) Trừ hai phân số cùng mẫu

Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu, ta trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu.

\(\dfrac{a}{m}-\dfrac{b}{m}=\dfrac{a-b}{m}.\)

b) Trừ hai phân số không cùng mẫu

Muốn trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu của những phân số đó rồi trừ của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

Ví dụ: Tính: \(\dfrac{-3}{18}-\dfrac{7}{12}.\)

Giải:

Bước 1. Quy đồng mẫu hai phân số

• BCNN(18, 12) = 36;
• 36 : 18 = 2; 36 : 12 = 3;
• \(\dfrac{-3}{18}=\dfrac{\left(-3\right).2}{18.2}=\dfrac{-6}{36}\) và \(\dfrac{7}{12}=\dfrac{7.3}{12.3}=\dfrac{21}{36}.\)

Bước 2. Trừ tử của số bị trừ cho tử của số trừ và giữ nguyên mẫu chung.

Ta có: \(\dfrac{-6}{36}-\dfrac{21}{36}=\dfrac{\left(-6\right)-21}{36}=\dfrac{-27}{36}=\dfrac{-3}{4}\).

Vậy \(\dfrac{-3}{18}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{-3}{4}.\)

Muốn trừ hai phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ: \(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{c}{d}\right).\)

III. QUY TẮC DẤU NGOẶC 

Quy tắc dấu ngoặc đối với phân số giống như quy tắc dấu ngoặc đối với số nguyên.

Ví dụ: Tính một cách hợp lý:

Giải:

a) \(\dfrac{-2}{15}+\left(\dfrac{17}{15}-\dfrac{5}{9}\right)=\dfrac{-2}{15}+\dfrac{17}{15}-\dfrac{5}{9}=\left(\dfrac{-2}{15}+\dfrac{17}{15}\right)-\dfrac{5}{9}=1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}.\)

b) \(\dfrac{25}{11}-\left(\dfrac{14}{11}+\dfrac{-4}{7}\right)=\dfrac{25}{11}-\dfrac{14}{11}+\dfrac{4}{7}=1+\dfrac{4}{7}=\dfrac{11}{7}.\)