Bài 3. Áp suất và động năng phân tử chất khí

I. ÁP SUẤT CHẤT KHÍ

1. Áp suất của khí lên thành bình

Theo mô hình động học phân tử chất khí, các phân tử khí va chạm với thành bình, truyền động lượng cho thành bình và bị bật trở lại (Hình 3.2). Mỗi phân tử khí va chạm vào thành bình gây ra áp suất lên thành bình là:

\(p_i=\dfrac{F}{S}\)

Trong đó, F là độ lớn của lực do phân tử khí tác dụng vuông góc lên diện tích S của thành bình. Mỗi phân tử khí tác dụng lên thành bình một áp suất không đáng kể nhưng một số lượng rất lớn các phân tử khí va chạm vào thành bình sẽ gây ra áp suất chất khí đủ lớn.

Muốn xác định công thức tính áp suất của chất khí, cần tính được tổng áp suất do các phân tử khí trong bình tác dụng lên thành bình khi va chạm. Trong đó, áp suất gây ra bởi mỗi phân tử khí được xác định bằng cách tính tốc độ thay đổi động lượng của phân tử khi đập vào thành bình.

2. Công thức tính áp suất khí

Để đơn giản, xét một phân tử khí chuyển động trong một bình hình lập phương, mỗi cạnh có chiều dài \(L\) rất nhỏ (Hình 3.2). Phân tử này có khối lượng \(m\) và đang di chuyển với tốc độ \(v\) theo phương song song với một cạnh của bình. Ta tính áp suất do phân từ nấy tác dụng lên thành ABCD của bình và sau đó suy ra áp suất tổng cộng do tất cả các phân từ khí tạo ra.

Xét một va chạm đàn hồi của phân tử vào thành bình. Phản lực của thành bình làm phân từ khí bật ra và chuyển động theo hướng ngược lại. Động lượng của phân từ thay đổi từ \(mv\) thành \(-mv\) . Trong thời gian giữa hai va chạm liên tiếp của phân từ với thành bình, động lượng của phân tử thay đổi một lượng có độ lớn là \(2mv\).

Thời gian giữa một lần va chạm của phân tử với thành bình ABCD và lần va chạm tiếp theo của nó với cùng thành bình đó là \(\Delta t=2L/v\). Do giữa hai va chạm liên tiếp, phân từ khí lí tưởng chuyển động thẳng đều nên \(\Delta t\) là thời gian ghi nhận được động lượng của phân tử khí biến thiên một lượng là \(2mv\).

Vậy độ lớn trung bình của lực gây ra thay đổi động lượng của phân tử khi đang xét là

\(F=\dfrac{2mv}{\dfrac{2L}{v}}=\dfrac{mv^2}{L}\)

Lực do phân tử khí tác dụng lên thành bình ABCD có cùng độ lớn với F. 

Thành bình ABCD là hình vuông nên diện tích của nó là

\(S=L^2\)

Vậy áp suất do một phân tử khí gây ra là

\(p_i=\dfrac{F}{S}=\dfrac{\dfrac{mv^2}{L}}{L^2}=\dfrac{mv^2}{L^3}\)

Trong bình không phải chỉ có một mà có một số lượng lớn các phân tử khí, mỗi phân tử khí có một giá trị \(v^2\) khác nhau và mỗi phân tử đều góp phần gây ra áp suất lên thành bình. Vì thế, khi tính giá trị trung bình của \(p_i\), ta phải lấy giá trị trung bình của \(v^2\) (kí hiệu là \(\overline{v^2}\)).

Nếu trong bình có \(N\) phân tử thì áp suất do chúng gây ra được tính bằng tích của \(N\) và giá trị trung bình của \(p_i\), tức là 

\(p=\dfrac{Nm\overline{v^2}}{L^3}\)

Chúng ta thu được kết quả này với giả định rằng tất cả các phân tử đang chuyển động theo cùng một phương và va chạm với cùng một cặp mặt đối diện của hình lập phương. Thực tế, các phân tử trong bình chuyển động hỗn loạn không có phương nào ưu tiên, tức là chúng chuyển động và va chạm với ba cặp mặt đối diện của hình lập phương như nhau. Do đó, ta phải chia kết quả đã tính cho 3 để được áp suất do tất cả các phân tử gây ra lên mỗi mặt của bình lập phương. Với chú ý, thể tích của bình là \(V=L^3\), ta thu được:

\(p=\dfrac{1}{3}\dfrac{Nm\overline{v^2}}{V}\)

Vì Nm là khối lượng của tất cả các phân tử khí, tức là khối lượng của lượng khí trong bình nên ta có :

\(p=\dfrac{1}{3}\rho\overline{v^2}\)

Với \(\rho\) là khối lượng riêng của chất khí.

Công thức \(p=\dfrac{1}{3}\mu m\overline{v^2}\) cho thấy áp suất \(p\) do các phân tử khí tác dụng lên thành bình tỉ lệ thuận với mật độ phân tửu khí và khối lượng của mỗi phân tử. Tức là, mật độ chất khí càng lớn, áp suất của chất khí càng lớn; khối lượng phân tử khí càng lớn thì phân tử sẽ gây ra áp suất càng lớn trong quá trình va chạm.

Công thức \(p=\dfrac{1}{3}\mu m\overline{v^2}\) cũng cho thấy áp suất \(p\) tỉ lệ thuận với giá trị trung bình của bình phương tốc độ phân tử khí \(\overline{v^2}\). Nguyên nhân là nếu một phân tử di chuyển với tốc độ lớn hơn thì nó không chỉ tác dụng vào thành bình chứa mạnh hơn mà nó còn va chạm với thành bình thường xuyên hơn.

Mặt khác, công thức \(p=\dfrac{1}{3}\dfrac{Nm\overline{v^2}}{V}\) thể hiện rằng áp suất \(p\) tỉ lệ nghịch với thể tích chất khí, đó chính là nội dung của định luật Boyle đã được giải thích ở bài học trước.

II. ĐỘNG NĂNG PHÂN TỬ KHÍ LÍ TƯỞNG

Từ \(p=\dfrac{1}{3}\dfrac{Nm\overline{v^2}}{V}\) và phương tình trạng thái của khí lí tưởng

\(pv=nRT\)

ta rút ra được :

\(m\overline{v^2}=\dfrac{3RT}{N_A}\)

Với \(N_A=\dfrac{N}{n}\) là số Avogadro, tức là số phân tử tròn một mol khí. Lưu ý rằng, động năng trung bình của phân tử khí là \(W_d=\dfrac{m\overline{v^2}}{2}\), ta có :

\(\dfrac{m\overline{v^2}}{2}=\dfrac{3RT}{2N_A}\)

Do \(R\) và \(N_A\) đều là hằng số nên \(k=\dfrac{R}{N_A}\) cũng là hằng số và được gọi là hằng số Boltzmann.

Cuối cùng, ta thu được biểu thức tính động năng phân tử chất khí :

\(W_d=\dfrac{m\overline{v^2}}{2}=\dfrac{3kT}{2}\)

Khi thành lập công thức tính động năng của phân tử khí lí tưởng, ta chưa xét chuyển động quay của phân tử khí. Người ta gọi động năng chưa tính đến động năng quay hay dao động của phân tử là động năng tịnh tiến của phân tử khí lí tưởng.

Công thức \(W_d=\dfrac{m\overline{v^2}}{2}=\dfrac{3kT}{2}\) cho thấy : Động năng tịnh tiến trung bình của phân tử khí lí tưởng tỉ lệ thuận với nhiệt độ T.