Bài 6. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\end{array}\)

Ta thấy \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG nên A’B’, B’C’, A’C’ lần lượt là đường trung bình của các tam giác AGB, BGC, AGC.

Khi đó: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Xét tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có:

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\Delta A'B'C' \backsim\Delta ABC\) (c-c-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (Định lý Pytago)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {3^2} + C{A^2} = {5^2}\\ \Leftrightarrow C{A^2} = {5^2} - {3^2}\\ \Leftrightarrow C{A^2} = 16\\ \Leftrightarrow CA = 4\end{array}\)

Xét tam giác A’B’C’ vuông tại A’ ta có:

\(A'B{'^2} + A'C{'^2} = B'C{'^2}\) (Định lý Pytago)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {6^2} + A'C{'^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow A'C{'^2} = {10^2} - {6^2}\\ \Leftrightarrow A'C{'^2} = 64\\ \Leftrightarrow A'C' = 8\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{6}{3} = 2\\\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{10}}{5} = 2\\\frac{{C'A'}}{{CA}} = \frac{8}{4} = 2\end{array}\)

Ta thấy \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\).

c) Xét tam giác A’B’C’ và tam giác ABC có: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \Delta A'B'C' \backsim\Delta ABC\) (c-c-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì \(\frac{{AD}}{{BM}} = \frac{2}{3},\,\,\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{3}{{4,5}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{AD}}{{BM}} = \frac{{DM}}{{MC}}\).

Xét hai tam giác \(ADM\) và \(BMC\) có \(\widehat {MAD} = \widehat {CBM} = 90^\circ \) và \(\frac{{AD}}{{BM}} = \frac{{DM}}{{MC}}\) nên \(\Delta{ADM} \backsim \Delta{BMC}\).

Suy ra \(\widehat {AMD} = \widehat {BCM}\) và \(\widehat {ADM} = \widehat {BMC}\).

Xét tam giác \(ADM\) vuông tại A có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\widehat {AMD} + \widehat {ADM} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {AMD} + \widehat {BMC} = 90^\circ \end{array}\)

Mà ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\widehat {AMD} + \widehat {DMC} + \widehat {CMB} = 180^\circ \\ \Rightarrow 90^\circ  + \widehat {DMC} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {DMC} = 90^\circ \end{array}\)

Vậy tam giác \(CDM\) vuông tại \(M\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác IKH có:

\(\frac{{AB}}{{IK}} = \frac{{AC}}{{IH}} = \frac{{BC}}{{KH}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim\Delta IKH\) (c-c-c)

Xét tam giác DEG và tam giác MNP có:

\(\frac{{DE}}{{MN}} = \frac{{DG}}{{MP}} = \frac{{EG}}{{KH}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \Delta DEG \backsim\Delta MNP\) (c-c-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Ta thấy:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\\frac{{BC}}{{NP}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}\\\frac{{CA}}{{PM}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}}\end{array}\)

Xét tam giác ABC và tam giác MNP có: \(\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim\Delta MNP\) (c-c-c)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {MNP},\,\,\widehat {ACB} = \widehat {MPN},\,\,\widehat {BAC} = \widehat {NMP}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, ta có:

\(\Delta ABC \backsim\Delta MNP\) theo hệ số tỉ lệ là \(\frac{1}{{1\,000\,000}}\)

 \(\Delta A'B'C' \backsim\Delta MNP\) theo hệ số tỉ lệ là \(\frac{1}{{1\,500\,000}}\).

Từ đó ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{CA}}{{PM}} = 1\,000\,000\\ \Rightarrow AB = 1\,000\,000MN,\,\,BC = 1\,000\,000NP,\,\,CA = 1\,000\,000PM\end{array}\)

và \(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{MN}} = \frac{{B'C'}}{{NP}} = \frac{{C'A'}}{{PM}} = 1\,500\,000\\ \Rightarrow A'B' = 1\,500\,000MN,\,\,B'C' = 1\,500\,000NP,\,\,C'A' = 1\,500\,000PM\end{array}\)

Ta thấy

\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{1\,000\,000MN}}{{1\,500\,000MN}} = \frac{2}{3}\\\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{1\,000\,000NP}}{{1\,500\,000NP}} = \frac{2}{3}\\\frac{{CA}}{{C'A'}} = \frac{{1\,000\,000PM}}{{1\,500\,000PM}} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC \backsim\Delta A'B'C'\) (c-c-c) với tỉ số đồng dạng là \(\frac{2}{3}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác MON có: \(\frac{{OA}}{{OM}} = \frac{{OB}}{{ON}} = \frac{2}{3}\) nên \(AB//MN\) (Định lý Thales đảo)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{2}{3}\) (Hệ quả của định lý Thales)

Chứng minh tương tự ta được \(\frac{{BC}}{{NP}} = \frac{2}{3};\,\,\frac{{AC}}{{MP}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}} = \frac{{AC}}{{MP}}\)

 \( \Rightarrow \Delta ABC \backsim\Delta MNP\) (c-c-c)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^\circ \) nên nếu \(\widehat {PMN} = \widehat {ACB},\,\,\widehat {PNM} = \widehat {BAC}\) thì \(\widehat {MPN} = \widehat {CBA}\)

Ta cần \(\Delta ABC \backsim\Delta NPM\)

Khi đó \(\frac{{AB}}{{NP}} = \frac{{BC}}{{PM}} = \frac{{AC}}{{NM}}\) hay \(\frac{8}{{NP}} = \frac{6}{{PM}} = \frac{3}{{4,5}} = \frac{2}{3}\)

Ta có: \(\frac{8}{{NP}} = \frac{2}{3} \Rightarrow NP = 8.3:2 = 12cm\)

\(\frac{6}{{MP}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MP = 6.3:2 = 9cm\)

Vậy Thanh cần dùng thước kẻ vẽ hai đoạn thẳng NP=12cm và PM=9cm để tìm được điểm P thỏa mãn yêu cầu đề bài.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD và BMNP là hình bình hành nên \(MN//BP\) và \(AD//BC \Rightarrow MN//AD\)

Xét tam giác ABD có \(AD//MN \Rightarrow \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BN}}{{BD}}\) (1) (Định lý Thales)

Tương tự ta chứng minh được \(NP//DC \Rightarrow \frac{{BN}}{{BD}} = \frac{{BP}}{{BC}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BC}}\).

b) Ta có \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BC}} \Rightarrow MP//AC\)(Định lý Thales đảo)

\( \Rightarrow \Delta PBM \backsim\Delta CBA\) (c-c-c) (3)

Vì BMNP là hình bình hành nên ta có \(\frac{{PB}}{{MN}} = \frac{{BM}}{{NP}} = \frac{{MP}}{{PM}} = 1\)

\( \Rightarrow \Delta PBM \backsim\Delta MNP\) (c-c-c) (4)

Từ (3) và (4) ta có \(\Delta MNP \backsim\Delta CBA\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)