Biết rằng 3 số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân ?
Biết rằng 3 số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân ?
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là \(12288m^2\). Tính diện tích mặt trên cùng ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTheo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu:
u1 = 12288m2 và công bội \(q=\dfrac{1}{2}\).
Vậy diện tích mặt trên cùng là: \(u_{11}=u_1.q^{10}=12288.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}=12\left(m^2\right)\).
(Trả lời bởi Minh Hải)
Chứng minh rằng nếu các số \(a^2,b^2,c^2\) lập thành một cấp số công (\(abc\ne0\)) thì các số \(\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a},\dfrac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng :
a) \(n^5-n\) chia hết cho 5 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
c) \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi \(n\in N^{\circledast}\)
Thảo luận (3)Hướng dẫn giảia)
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
Với \(n=1\).
\(n^5-n=1^5-1=0\).
Do 0 chia hết cho 5 nên điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(k^5-k⋮5\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Thật vậy:
\(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)=C^0_5k^0+C^1_5k+...+C^5_5k^5-k-1\)
\(=1+C^1_5k+...+k^5-k-1\)
\(=C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\)
Do mỗi \(C_5^1;C^2_5;C^3_5;C^4_5\) đều chia hết cho 5 và do gải thiết quy nạp \(k^5-k⋮5\) nên \(C^1_5k+...+C^4_5k^4+k^5-k\) chia hết cho 5.
Vì vậy: \(\left(k+1\right)^5-\left(k+1\right)⋮5\).
Vậy điều phải chứng minh đúng với mọi n.
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với \(n\in N^{\circledast}\)
a) \(A_n=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+....+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)}\)
b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}\)
c) \(S_n=\sin x+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}\sin\dfrac{\left(n+1\right)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảib)
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :
a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)
b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia)
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) :
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1;u_2=2\\u_{n+1}=2u_n-u_{n-1};\left(n\ge2\right)\end{matrix}\right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Lập dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=u_{n+1}-u_n\)
Chứng minh dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số cộng
c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) :
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{1}{3}\\u_{n+1}=\dfrac{\left(n+1\right)u_n}{3n};n\ge1\end{matrix}\right.\)
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số
b) Lập dãy số \(\left(v_n\right)\) với \(v_n=\dfrac{u_n}{n}\)
Chứng minh dãy số \(\left(v_n\right)\) là cấp số nhân
c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi ba số đó là \(x,y,z\). Do ba số là các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên:
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
\(x;y=x+7d;z=x+42d\). (Với d là công sai của cấp số cộng).
Ta có: \(x+y+z=x+x+7d+x+42d=3x+49d=217\).
Mặt khác x, y, z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
\(y^2=xz\)\(\Leftrightarrow\left(x+7d\right)^2=x\left(x+42d\right)\)\(\Leftrightarrow-28xd+49d^2=0\)\(\Leftrightarrow7d\left(-4x+7d\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=0\\-4x+7d=0\end{matrix}\right.\).
Với \(d=0\) suy ra \(x=y=z=\dfrac{217}{3}\).
Suy ra: \(n=820:\dfrac{217}{3}=\dfrac{2460}{217}\notin N\).
Với \(4+7d=0\). Ta có hệ:
\(\left\{{}\begin{matrix}4x+7d=0\\3x+49d=217\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\d=4\end{matrix}\right.\).
Vậy \(u_1=7-4=3\).
Có \(S_n=\dfrac{\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]n}{2}=\dfrac{\left[2.3+\left(n-1\right)4\right]n}{2}=820\)
\(\Rightarrow n=20\left(tm\right)\).
Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi 3 số hạng của cấp số cộng là: \(5;5+d;5+2d\)
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
Gọi 3 số hạng của cấp số nhân là: \(5;5q;5q^2\).
Ta có hệ sau:\(\left\{{}\begin{matrix}5+2d=5q^2\\5+d=5q+10\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5+2d=5q^2\\d=5q+5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow5+2.\left(5q+5\right)=5q^2\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}q=-1\\q=3\end{matrix}\right.\).
Với \(q=-1\) thì \(d=5.q+5=5.\left(-1\right)+5=0\).
Với \(q=3\) thì \(d=5.q+5=5.3+5=20\).
Vậy
Với \(q=-1\):
3 số hạng của cấp số cộng là: 5; 5; 5.
3 số hạng của cấp số nhân là: 5; - 5; 5.
Với \(q=3\):
3 số hạng của cấp số cộng là: 5; 25; 45.
3 số hạng của cấp số nhân là: 5; 15; 45.