Bài 3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (1) suy ra x = 1 + 2y

Thế vào (2) ta được:

- 2(1 + 2y) + 3y = -1

 - 2 – 4y + 3y = -1

 y = - 1

suy ra x = 2 + 2.(-1) = 0

Vậy (0;-1) là nghiệm của hệ phương trình.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y =  - 2}\\{5x - 4y = 11}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 - 2y}\\{5.( - 2 - 2y) - 4y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 - 2y}\\{ - 10 - 10y - 4y = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 - 2y}\\{ - 14y = 21}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \frac{{ - 3}}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y =  - 5}\\{ - 2x + y = 11}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x + 5}\\{ - 2x + 2x + 5 = 11}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2x + 5}\\{0x = 6}\end{array}} \right.\end{array}\)

Phương trình 0x = 6 vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 2}\\{6x + 2y = 4}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 3x}\\{6x + 2.(2 - 3x) = 4}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 3x}\\{6x + 4 - 6x = 4}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 3x}\\{0x = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)

Phương trình 0x = 0 nghiệm đúng với mọi x \( \in \mathbb{R}\).

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Các nghiệm của hệ được viết như sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \mathbb{R}}\\{y = 2 - 3x}\end{array}} \right.\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Giải hệ (I) ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Giải hệ (II) ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - (5 - x) = 1}\\{y = 5 - x}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{y = 5 - x}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

suy ra hệ phương trình (I) và (II) đều có nghiệm là (2;3).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ này ta được phương trình 3x = 6.

Thay phương trình thứ nhất của hệ này bằng phương trình mới ta được hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\). Giải hệ phương trình này, ta được:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6}\\{x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x + y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2 + y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Suy ra nghiệm của hệ phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.\).

Ta thấy nghiệm vừa tìm được cũng chính là nghiệm tìm được ở phần a bằng phương pháp thế.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5y =  - 14}\\{2x + 3y = 2}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được – 8y = - 16. Suy ra y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 2x + 6 = 2. Do đó x = - 2.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-2;2).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5y = 15}\\{6x - 4y = 11}\end{array}} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12x + 15y = 45}\\{12x - 8y = 22}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 23y = 23. Suy ra y = 1.

Thay y = 1 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 6x – 4y = 11. Do đó x = \(\frac{5}{2}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{5}{2};1} \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số đi qua A(2;-2) ta có phương trình: 2a + b = - 2

Đồ thị hàm số đi qua B(-1;3) ta có phương trình: -a + b = 3

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b =  - 2}\\{ - a + b = 3}\end{array}} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 3a = -5. Suy ra a =\(\frac{{ - 5}}{3}\) .

Thay a = \(\frac{{ - 5}}{3}\) vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(\frac{5}{3}\) + b = 3. Do đó b = \(\frac{4}{3}\).

Vậy a = \(\frac{{ - 5}}{3}\) và b = \(\frac{4}{3}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 4}\\{3x + 5y =  - 19}\end{array}} \right.\)

- Ấn nút ON để khởi động máy.

- Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:

Màn hình hiện ra kết quả như hình sau:

Ấn 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{{13}};\frac{{ - 50}}{{13}}} \right)\)

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x + 5y = 12}\\{2x + y = 5}\end{array}} \right.\)

- Ấn nút ON để khởi động máy.

- Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:

Màn hình hiện ra kết quả như hình sau:

Ấn 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (1;3).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Tổng số học sinh 2 lớp là 82 học sinh ta có phương trình: x + y = 82

Mỗi HS lớp 9A trồng được 3 cây, mỗi HS lớp 9B trồng được 4 cây mà tổng số cây trồng được của cả 2 lớp là 288 cây ta có phương trình: 3x + 4y = 288

b) Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 82}\\{3x + 4y = 288}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 82 - y}\\{3.(82 - y) + 4y = 288}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 82 - y}\\{246 - 3y + 4y = 288}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 82 - y}\\{y = 42}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 40}\\{y = 42}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy lớp 9A có 40 HS, lớp 9B có 42 HS.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật (\(x \in \mathbb{N}*;y \in \mathbb{N}*\)).

Chu vi hình chữ nhật là 64m, nên ta có phương trình 2(x + y) = 64 suy ra x + y = 32 (1)

Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và tăng chiều rộng thêm 3 m thì diện tích tăng thêm 88 m² , nên ta có phương trình (x + 2)(y + 3) = xy + 88 suy ra 3x + 2y = 82 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 32}\\{3x + 2y = 82}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 18}\\{y = 14}\end{array}} \right.\) (Thoả mãn).

Vậy chiều dài là 18 m và chiều rộng là 14 m.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi x và y lần lượt là hệ số của N và O₂ thoả mãn cân bằng phương trình hoá học

xNO + yO₂ \( \to \) NO₂

Cân bằng số nguyên tử N, số nguyên tử O ở 2 vế, ta được hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x + 2y = 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hoá học, ta có

NO + \(\frac{1}{2}\)O₂ \( \to \) NO₂

Do các hệ số của phương trình hoá học phải là các số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hoá học với 2, ta được

2NO + O₂ \( \to \) 2NO₂

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là giá tiền 1 kg thịt lợn và giá tiền 1 kg thịt bò (\(x \in \mathbb{N}*;y \in \mathbb{N}*\)).

Chị An mua 1,2 kg thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000 đồng, ta có phương trình

1,2x + 0,7y = 362000 (1)

Chị Ba mua 0,8 kg thịt lợn và 0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000 đồng, ta có phương trình

0,8x + 0,5y = 250000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,2x + 0,7y = 362000}\\{0,8x + 0,5y = 250000}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 150000}\\{y = 260000}\end{array}} \right.\) (Thoả mãn)

Vậy giá tiền 1 kg thịt lợn là 150 000 đồng và giá tiền 1 kg thịt bò là 260 000 đồng.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)