Bài 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hướng dẫn giải

Phương trình biểu thị khối lượng của vật qua x và y là \(x+y=124\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Thể tích của vật là \(15\,c{m^3}\) nên ta có phương trình \(\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\left( {c{m^3}} \right).\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Qua hoạt động 1 và hoạt động 2, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{x}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\end{array} \right.\) 

Từ phương trình đầu ta có \(x = 124 - y\) thay vào phương trình thứ hai ta được \(\frac{{124 - y}}{{8,9}} + \frac{y}{7} = 15\) nên \(\frac{{19}}{{623}}y + \frac{{1240}}{{89}} = 15\) hay \(y = 35.\)

Với \(y = 35\) thì ta có \(x = 124 - 35 = 89.\)

Vậy vật đó có 89 g đồng và 35 gam kẽm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\left( {km/h} \right)\) là vận tốc của xe tải và \(y\left( {km/h} \right)\) là vận tốc xe khách \(x,y > 0.\)

Thời gian di chuyển của xe khách từ HCM đến điểm gặp nhau là 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút \( = \frac{8}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe khách đi được là \(\frac{8}{3}.y\left( {km} \right).\)

Thời gian di chuyển của xe tải từ Cần Thơ đến điểm gặp nhau là 40 phút \( = \frac{2}{3}\) (giờ) nên quãng đường xe tải đi được là \(\frac{2}{3}x\left( {km} \right).\)

Vì hai xe di chuyển ngược chiều nên tổng quãng đường hai xe đi được chính là khoảng cách từ HCM đến Cần Thơ nên ta có phương trình: \(\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\left( {km} \right).\)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15km nên ta có phương trình \(y - x = 15\)

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{8}{3}y + \frac{2}{3}x = 170\\y - x = 15\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 15 + x\) thế vào phương trình đầu ta được \(\frac{8}{3}\left( {15 + x} \right) + \frac{2}{3}x = 170\) suy ra \(\frac{{10}}{3}x + 40 = 170\) nên \(x = 39\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 39\) ta có \(y = 15 + 39 = 54\left( {t/m} \right).\)

Vậy vận tốc của xe tải là 39 km/h và vận tốc của xe khách là 54 km/h.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian chảy đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai lần lượt là \(x;y\) giờ \(\left( {x,y > 0} \right).\)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) (bể).

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút (1 giờ 20 phút \( = \frac{4}{3}\) giờ) nên 1 giờ cả hai vòi chảy được \(1:\frac{4}{3} = \frac{3}{4}\) (bể).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}.\left( 1 \right)\)

Mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút (10 phút \( = \frac{1}{6}\) giờ) thì vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{6}.\frac{1}{x} = \frac{1}{{6x}}\) (bể).

Vòi thứ hai trong 12 phút (12 phút \( = \frac{1}{5}\) giờ) thì vòi thứ hai chảy được  \(\frac{1}{5}.\frac{1}{y} = \frac{1}{{5y}}\) (bể).

Thì hai vòi chảy được \(\frac{2}{{15}}\) bể nước.

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{5}\) ta được \(\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\), từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{3}{{20}}\\\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5y}} = \frac{2}{{15}}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {\frac{1}{{5x}} + \frac{1}{{5y}}} \right) - \left( {\frac{1}{{6x}} + \frac{1}{{5x}}} \right) = \frac{3}{{20}} - \frac{2}{{15}}\) suy ra \(\frac{1}{{30x}} = \frac{1}{{60}}\) nên \(x = 2\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 2\) thay vào phương trình (1) ta được \(\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}\) nên \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng cần 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ thì đầy bể.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số N cần tìm có dạng \(\overline {ab} \left( {a,b \in \mathbb{N};0 < a \le 9;0 \le b \le 9} \right)\)

Tổng của hai chữ số đó bằng 12 nên ta có phương trình \(a + b = 12.\)

Hai chữ số viết theo thứ tự ngược lại ta được số mới có dạng \(\overline {ba} .\)

Ta được số mới lớn hơn số đã cho là 36 đơn vị nên ta có phương trình \(\overline {ba}  - \overline {ab}  = 36\)

Nên \(10b + a - \left( {10a + b} \right) = 36\) suy ra \(9b - 9a = 36\) hay \(b - a = 4.\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 12\\b - a = 4\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {a + b} \right) + \left( {b - a} \right) = 12 + 4\) hay \(2b = 16\) nên \(b = 8\left( {t/m} \right).\)

Thay \(b = 8\) vào phương trình thứ nhất ta có \(a + 8 = 12\) nên \(a = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy số N cần tìm là 48.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số lần bắn đạt 8 điểm là x (lần), số lần bắn đạt 6 điểm là y (lần) \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\)

Tổng số lần bắn là 100 lần nên ta có phương trình \(25 + 42 + x + 15 + y = 100\) hay \(x + y = 18.\)

Điểm trung bình của 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:

\(\frac{{10.25 + 9.42 + 8.x + 7.15 + 6y}}{{100}} = 8,69\) hay \(8x + 6y = 136.\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\8x + 6y = 136\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 18\\4x + 3y = 68\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(3x + 3y = 24\) nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 54\\4x + 3y = 68\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {3x + 3y} \right) - \left( {4x + 3y} \right) = 54 - 68\) hay \( - x =  - 14\) nên \(x = 14\left( {t/m} \right).\)

Với \(x = 14\) thay vào phương trình đầu ta được \(y = 4\left( {t/m} \right).\)

Vậy ta có bảng:

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số thóc của hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) \(\left( {x,y > 0} \right)\)

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc nên ta có phương trình \(x + y = 3600\) (tấn thóc)

Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được \(115\% x = 1,15x\) (tấn thóc)

Đội thứ hai làm vượt mức 12%  so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được \(112\% y = 1,12y\) (tấn thóc)

Nên năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc, ta có phương trình \(1,5x + 1,2y = 4095\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3600\\1,15x + 1,12y = 4095\end{array} \right.\)  hay  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2100\\y = 1500\end{array} \right.\left( {t/m} \right)\)

Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được \(1,15.2100 = 2415\) tấn thóc.

Năm nay đội thứ hai thu hoạch được \(1,12.1500 = 1680\) tấn thóc.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian hoàn thành công việc của hai người thợ lần lượt là x,y (giờ) \(\left( {x,y > 0} \right)\)

1 giờ người thợ thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc

1 giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được \(\frac{1}{{16}}\) (công việc).

Nên ta có phương trình \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\)

Người thứ nhất làm trong 3 giờ làm được \(3.\frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) công việc

Người thứ hai làm trong 6 giờ làm được \(6.\frac{1}{y} = \frac{6}{y}\) công việc

Thì cả hai người hoàn thành được \(25\%  = \frac{1}{4}\) công việc nên ta có phương trình \(\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{16}}\) từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{16}}\\\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y}} \right) - \left( {\frac{3}{x} + \frac{6}{y}} \right) = \frac{3}{{16}} - \frac{1}{4}\) hay \( - \frac{3}{y} =  - \frac{1}{{16}}\) nên \(y = 48\left( {t/m} \right).\)

Thay \(y = 48\) vào phương trình đầu ta có \(x = 24\left( {t/m} \right).\)

Vậy người thứ nhất cần làm trong 24 giờ, người thứ hai cần làm trong 48 giờ thì xong công việc.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)