Question

x,y là 2 số tự nhiên thỏa mãn x+2y=3

Tìm gtnn (giá trị nhỏ nhất) của E= x²+2y²

Answer 1

x+2y=3\(\Rightarrow y=\dfrac{3-x}{2}\)(1)

Thế (1) vào E ta được : E=x\(^2\)+\(\dfrac{x^2-6x+9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2E=2x^2+x^2-6x+9\Leftrightarrow2E=3x^2-6x+9\)

\(\Leftrightarrow2E=3\left(x^2-2x+1+2\right)\Leftrightarrow E=\dfrac{3}{2}\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\)

\(\Leftrightarrow E=\dfrac{3}{2}\left(x-1\right)^2+3\) . Do (x-1)\(^2\)\(\ge\)0\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x-1\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x-1\right)^2+3\ge3\Leftrightarrow E\ge3\) . Hay \(E_{min}=3\) .

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 3 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)